На декартовой плоскости имеется квадратный бильярдный стол с вершинами в точках $(0;0)$, $(0;10)$, $(10;0)$ и $(10;10)$ и шар в точке $(3;4)$. Шар при ударе по нему попал в нижнюю правую лузу (точка $(10;0)$), отскочив сначала от верхнего борта, потом от правого, далее от нижнего, потом от левого и, наконец, снова от верхнего. Какое расстояние преодолел шар перед тем, как попасть в лузу? (Считайте, что шар и луза — материальные точки.)
Ответ:
Решение:
На декартовой плоскости имеется прямоугольный бильярдный стол с вершинами в точках $(0;0)$, $(0;6)$, $(10;0)$, $(10;6)$ и шар в точке $(2;3)$. Шар при ударе по нему попал в нижнюю правую лузу (точка $(10;0)$), отскочив сначала от верхнего борта, потом от правого, далее от нижнего, потом от левого и, наконец, снова от верхнего. Какое расстояние преодолел шар перед тем, как попасть в лузу? (Считайте, что шар и луза — материальные точки.)
Ответ:
Решение:
Диагонали $BD$ и $AC$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $M$, а отношение оснований $AD:BC=1:2$. Точки $I_1$ и $I_2$ — центры окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$, вписанных в треугольники $BMC$ и $AMD$ соответственно. Прямая, проходящая через точку $M$, пересекает $\omega_1$ в точках $X$ и $Y$, а $\omega_2$ — в точках $Z$ и $W$ ($X$ и $Z$ находятся ближе к $M$). Найдите радиус окружности $\omega_1$, если $I_1I_2=13/2$, а $MZ\cdot MY=5$.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$, вписанный в окружность с центром в точке $O$. Угол $\angle C=30^\circ$. Центр окружности симметрично отразили относительно прямой, содержащей сторону $AB$ — получилась точка $O'$. Точку, диаметрально противоположную точке $A$, симметрично отразили относительно прямой, содержащей сторону $BC$. Получилась точка $A''$. Оказалось, что точки $O'$, $B$, $A''$ лежат на одной прямой. Найдите угол $\angle B$.
Ответ:
Решение:
Точка $O$ лежит внутри равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$. Расстояние от неё до вершины $A$ прямого угла равно $6$, до вершины $B$ равно $4$, до вершины $C$ равно $8$. Найти площадь треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$: $\angle ACB=90^\circ$, $AC=6$, $BC=4$. На прямой $BC$ отмечается такая точка $D$ ($CD\gt BD$), что $\angle ADC=45^\circ$. На прямой $AD$ отмечается такая точка $E$, что периметр треугольника $CBE$ — наименьший из возможных. Затем, на прямой $DC$ отмечается такая точка $F$, что периметр треугольника $AFE$ — наименьший из возможных. Найти $CF$.
Ответ:
Решение:
Диагонали выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, и при этом треугольники $BOC$ и $AOD$ — правильные. Точка $T$ симметрична точке $O$ относительно середины стороны $CD$.
а) Докажите, что $ABT$ — правильный треугольник.
б) Пусть дополнительно известно, что $BC=3$, $AD=7$. Найдите отношение площади треугольника $ABT$ к площади четырёхугольника $ABCD$.
а) Докажите, что $ABT$ — правильный треугольник.
б) Пусть дополнительно известно, что $BC=3$, $AD=7$. Найдите отношение площади треугольника $ABT$ к площади четырёхугольника $ABCD$.
Ответ:
Решение:
Диагонали выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, и при этом треугольники $BOC$ и $AOD$ — правильные. Точка $T$ симметрична точке $O$ относительно середины стороны $CD$.
а) Докажите, что $ABT$ — правильный треугольник.
б) Пусть дополнительно известно, что $BC=2$, $AD=3$. Найдите отношение площади треугольника $ABT$ к площади четырёхугольника $ABCD$.
а) Докажите, что $ABT$ — правильный треугольник.
б) Пусть дополнительно известно, что $BC=2$, $AD=3$. Найдите отношение площади треугольника $ABT$ к площади четырёхугольника $ABCD$.
Ответ:
Решение:
Около четырехугольника $ABCD$ можно описать окружность. Длины сторон $AB$ и $AD$ равны. На стороне $CD$ расположена точка $Q$ так, что $DQ=1$, а на стороне $BC$ — точка $P$ так, что $BP=2$. При этом $\angle DAB=2\angle QAP$. Найти длину отрезка $PQ$.
Ответ:
Решение:
Рисунок (вид сверху) изображает такую ситуацию:
Ночь. На пустыре стоит секция сплошного забора высотой 2 метра (чёрная линия снизу). На постоянной высоте 6 метров из точки $A$ в точку $B$ (стрелка) летит очень яркий светлячок. Назовём точку на земле затенённой, если она хотя бы на мгновение оказалась в тени забора. Какая площадь пустыря окажется затенённой?
Ночь. На пустыре стоит секция сплошного забора высотой 2 метра (чёрная линия снизу). На постоянной высоте 6 метров из точки $A$ в точку $B$ (стрелка) летит очень яркий светлячок. Назовём точку на земле затенённой, если она хотя бы на мгновение оказалась в тени забора. Какая площадь пустыря окажется затенённой?
Ответ:
Решение:
Даны треугольники $ABC$ и $A'B'C'$, площади которых равны $1$ и $2025$ соответственно. Известно, что лучи $AB$ и $A'B'$ параллельны и идут в противоположных направлениях (см. рисунок). То же верно и для пар $BC$ и $B'C'$, $CA$ и $C'A'$. Точки $A''$, $B''$ и $C''$ — середины отрезков $AA'$, $BB'$ и $CC'$. Найдите площадь треугольника $A''B''C''$.
Ответ:
Решение:
Бумажный квадрат площади 17 согнули по прямой, проходящей через его центр, после чего соприкасающиеся части склеили. Найдите максимально возможную площадь получившейся бумажной фигуры.
Ответ:
Решение:
На квадратном столе лежит квадратная скатерть так, что ни один угол стола не закрыт, но с каждой стороны стола свисает треугольный кусок скатерти. Известно, что какие-то два соседних куска равны. Докажите, что и два других куска тоже равны. (Скатерть нигде не накладывается сама на себя, её размеры могут отличаться от размеров стола.)
Ответ:
Решение:
Внутри выпуклого четырёхугольника $A_1A_2B_2B_1$ нашлась такая точка $C$, что треугольники $CA_1A_2$ и $CB_1B_2$ правильные. Точки $C_1$ и $C_2$ симметричны точке $C$ относительно прямых $A_2B_2$ и $A_1B_1$ соответственно. Докажите, что треугольники $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$ подобны.
Ответ:
Решение:
Внутри треугольника $ABC$ взята такая точка $D$, что $BD=CD$, $\angle BDC=120^\circ$. Вне треугольника $ABC$ взята такая точка $E$, что $AE=CE$, $\angle AEC=60^\circ$ и точки $B$ и $E$ находятся в разных полуплоскостях относительно $AC$. Докажите, что $\angle AFD=90^\circ$, где $F$ — середина отрезка $BE$.
Ответ:
Решение:
На сторонах выпуклого шестиугольника $ABCDEF$ во внешнюю сторону построены правильные треугольники $ABC_1$, $BCD_1$, $CDE_1$, $DEF_1$, $EFA_1$ и $FAB_1$. Оказалось, что треугольник $B_1D_1F_1$ — правильный. Докажите, что треугольник $A_1C_1E_1$ также правильный.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ с основанием $AC=14$ и боковыми сторонами $AB=13$ и $BC=15$ из центра вписанной окружности строится ломаная линия из трех звеньев так, что конечная ее точка — центр описанной около $ABC$ окружности, а еще две точки $M$ и $K$ лежат на боковых сторонах треугольника $ABC$. Найдите площадь треугольника $MBK$, если длина этой ломаной линии наименьшая.
Ответ:
Решение:
На боковых сторонах $AB$ и $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ наружу построены равнобедренные прямоугольные треугольники $ABD$ и $BCF$ с катетами, равными соответствующим сторонам $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$. Прямые $FB$ и $DC$ пересекаются в точке $M$, а $FA$ и $BC$ — в точке $N$. Найдите градусную меру $\angle BMN$.
Ответ:
Решение:
Можно ли сложить прямоугольный лист бумаги, согнув его несколько раз, и сделать один прямолинейный разрез так, что после разворачивания отрезанная часть превратится
а) в правильный треугольник;
б) в равнобедренный треугольник с заданным углом при основании;
в) в треугольник с заданными углами?
а) в правильный треугольник;
б) в равнобедренный треугольник с заданным углом при основании;
в) в треугольник с заданными углами?
Ответ:
Решение:
Дан остроугольный треугольник $ABC$. Для произвольной прямой $\ell$ обозначим через $\ell_a$, $\ell_b$, $\ell_c$ прямые, симметричные $\ell$ относительно сторон треугольника, а через $I_\ell$ — центр вписанной окружности треугольника, образованного этими прямыми. Найдите геометрическое место точек $I_\ell$.
Ответ:
Решение: