Назовём «зазубриванием» следующую операцию над многоугольником.
а) Каждую сторону многоугольника делим на три равные части.
б) Среднюю часть выбираем в качестве основания равностороннего треугольника, расположенного снаружи многоугольника.
в) Удаляем основание и добавляем две другие стороны.
Пусть $M_0$ — равносторонний треугольник, $M_1$ — многоугольник, полученный путём зазубривания $M_0$, $M_2$ получен зазубриванием $M_1$ (см. рисунок), $\ldots$, $M_{2018}$ получен зазубриванием $M_{2017}$.
Найдите $S(M_{2018})$, если известно, что $S(M_0)=2$. В ответе укажите значение $S(M_{2018})$, округлённое до сотых.
а) Каждую сторону многоугольника делим на три равные части.
б) Среднюю часть выбираем в качестве основания равностороннего треугольника, расположенного снаружи многоугольника.
в) Удаляем основание и добавляем две другие стороны.
Пусть $M_0$ — равносторонний треугольник, $M_1$ — многоугольник, полученный путём зазубривания $M_0$, $M_2$ получен зазубриванием $M_1$ (см. рисунок), $\ldots$, $M_{2018}$ получен зазубриванием $M_{2017}$.
Найдите $S(M_{2018})$, если известно, что $S(M_0)=2$. В ответе укажите значение $S(M_{2018})$, округлённое до сотых.
Ответ:
Решение:
Назовём «зазубриванием» следующую операцию над многоугольником.
а) Каждую сторону многоугольника делим на три равные части.
б) Среднюю часть выбираем в качестве основания равностороннего треугольника, расположенного снаружи многоугольника.
в) Удаляем основание и добавляем две другие стороны.
Пусть $K_0$ — квадрат со стороной $3$, $K_1$ — многоугольник, полученный путём зазубривания $K_0$, $K_2$ получен зазубриванием $K_1$ (см. рисунок), $\ldots$, $K_{2018}$ получен зазубриванием $K_{2017}$.
Найдите площадь $S(K_{2018})$. Ответ округлите до сотых по стандартным математическим правилам.
а) Каждую сторону многоугольника делим на три равные части.
б) Среднюю часть выбираем в качестве основания равностороннего треугольника, расположенного снаружи многоугольника.
в) Удаляем основание и добавляем две другие стороны.
Пусть $K_0$ — квадрат со стороной $3$, $K_1$ — многоугольник, полученный путём зазубривания $K_0$, $K_2$ получен зазубриванием $K_1$ (см. рисунок), $\ldots$, $K_{2018}$ получен зазубриванием $K_{2017}$.
Найдите площадь $S(K_{2018})$. Ответ округлите до сотых по стандартным математическим правилам.
Ответ:
Решение:
Назовём «зазубриванием» следующую операцию над многоугольником.
а) Каждую сторону многоугольника делим на три равные части.
б) Среднюю часть выбираем в качестве основания равностороннего треугольника, расположенного снаружи многоугольника.
в) Удаляем основание и добавляем две другие стороны.
Пусть $M_0$ — равносторонний треугольник, $M_1$ — многоугольник, полученный путём зазубривания $M_0$, $M_2$ получен зазубриванием $M_1$ (см. рисунок), $\ldots$, $M_{2018}$ получен зазубриванием $M_{2017}$.
Найдите $S(M_{2018})$, если известно, что $S(M_0)=4$. В ответе укажите значение $S(M_{2018})$, округлённое до сотых.
а) Каждую сторону многоугольника делим на три равные части.
б) Среднюю часть выбираем в качестве основания равностороннего треугольника, расположенного снаружи многоугольника.
в) Удаляем основание и добавляем две другие стороны.
Пусть $M_0$ — равносторонний треугольник, $M_1$ — многоугольник, полученный путём зазубривания $M_0$, $M_2$ получен зазубриванием $M_1$ (см. рисунок), $\ldots$, $M_{2018}$ получен зазубриванием $M_{2017}$.
Найдите $S(M_{2018})$, если известно, что $S(M_0)=4$. В ответе укажите значение $S(M_{2018})$, округлённое до сотых.
Ответ:
Решение:
Назовём «зазубриванием» следующую операцию над многоугольником.
а) Каждую сторону многоугольника делим на три равные части.
б) Среднюю часть выбираем в качестве основания равностороннего треугольника, расположенного снаружи многоугольника.
в) Удаляем основание и добавляем две другие стороны.
Пусть $K_0$ — квадрат со стороной $2{,}5$, $K_1$ — многоугольник, полученный путём зазубривания $K_0$, $K_2$ получен зазубриванием $K_1$ (см. рисунок), $\ldots$, $K_{2018}$ получен зазубриванием $K_{2017}$.
Найдите площадь $S(K_{2018})$. Ответ округлите до сотых по стандартным математическим правилам.
а) Каждую сторону многоугольника делим на три равные части.
б) Среднюю часть выбираем в качестве основания равностороннего треугольника, расположенного снаружи многоугольника.
в) Удаляем основание и добавляем две другие стороны.
Пусть $K_0$ — квадрат со стороной $2{,}5$, $K_1$ — многоугольник, полученный путём зазубривания $K_0$, $K_2$ получен зазубриванием $K_1$ (см. рисунок), $\ldots$, $K_{2018}$ получен зазубриванием $K_{2017}$.
Найдите площадь $S(K_{2018})$. Ответ округлите до сотых по стандартным математическим правилам.
Ответ:
Решение:
Какое максимальное возможное количество идущих подряд членов возрастающей геометрической прогрессии могут быть 3-значными натуральными числами? Приведите пример такой последовательности.
Ответ:
Решение:
Иллюминатор представляет собой однокамерный стеклопакет (два однородных одинаковых стекла). Определите, какой процент света пропускает одно стекло, если известно, что внутрь корабля стеклопакет пропускает треть попадающего на него света, а остальное отражается (без потерь).
Ответ:
Решение:
Иллюминатор представляет собой двухкамерный стеклопакет (три однородных одинаковых стекла). Определите, какой процент света пропускает стеклопакет внутрь корабля, если одно стекло пропускает 60% попадающего на него света.
Ответ:
Решение:
Числа $x$, $7$, $y$ (в указанном порядке) образуют геометрическую прогрессию. Числа $x$, $10$, $y$ (в указанном порядке) образуют арифметическую прогрессию. Найдите $x^2+y^2$.
Ответ:
Решение:
Три натуральных числа являются последовательными членами геометрической прогрессии. Если из второго вычесть $3$, а из третьего вычесть $14$, то получатся три последовательных члена арифметической прогрессии. Чему равна сумма трёх членов геометрической прогрессии, если разность арифметической прогрессии равна $1$?
Ответ:
Решение:
Три натуральных числа являются последовательными членами арифметической прогрессии. Если ко второму прибавить 2, а к третьему прибавить 12, то получатся три последовательных члена геометрической прогрессии. Чему равна сумма трёх данных чисел, если знаменатель геометрической прогрессии равен 3?
Ответ:
Решение:
Числа $x$, $y$, $z$ — последовательные члены арифметической прогрессии. Числа $y$, $z$, $t$ — последовательные члены геометрической прогрессии. \[ x+t=21,\quad z+y=18. \] Найдите числа $x$, $y$, $z$, $t$. В ответ выпишите значение $x$. Если таких значений несколько, то выпишите большее из них.
Ответ:
Решение:
Найдите сумму общих членов прогрессий $12, 15, 18, \ldots$ и $1, 3, 9, \ldots$, если в каждой из них 100 членов.
Ответ:
Решение:
Третий, четвёртый, седьмой и последний члены непостоянной арифметической прогрессии образуют геометрическую прогрессию. Найдите число членов этой арифметической прогрессии.
Ответ:
Решение:
Последовательность из двух различных чисел продолжили двумя способами: так, чтобы получилась геометрическая прогрессия, и так, чтобы получилась арифметическая прогрессия. При этом третий член геометрической прогрессии совпал с десятым членом арифметической прогрессии. А с каким членом арифметической прогрессии совпал четвёртый член геометрической прогрессии?
Ответ:
Решение:
Даны две непостоянные прогрессии $(a_n)$ и $(b_n)$, одна из которых арифметическая, а другая — геометрическая. Известно, что $a_1=b_1$, $a_2:b_2=2$ и $a_4:b_4=8$. Чему может быть равно отношение $a_3:b_3$?
Ответ:
Решение:
Дана возрастающая бесконечная последовательность натуральных чисел $a_1, \ldots, a_n, \ldots$ такая, что каждый её член является либо средним арифметическим, либо средним геометрическим двух соседних. Обязательно ли с некоторого момента эта последовательность становится либо арифметической, либо геометрической прогрессией?
Ответ:
Решение:
Назовём последовательность натуральных чисел интересной, если каждый её член, кроме первого, является либо средним арифметическим, либо средним геометрическим двух соседних с ним членов. Сеня начал последовательность с трёх натуральных чисел, образующих возрастающую геометрическую прогрессию. Он хотел бы продолжить свою последовательность до бесконечной интересной последовательности, которая ни с какого момента не становится ни арифметической, ни геометрической прогрессией. Может ли оказаться, что этого нельзя сделать?
Ответ:
Решение:
Дана бесконечная последовательность чисел $a_1$, $a_2$, …, в которой нет двух равных членов. Отрезок $a_i$, $a_{i+1}$, …, $a_{i+m-1}$ этой последовательности назовём монотонным отрезком длины $m$, если выполнены неравенства $a_i\lt a_{i+1}\lt \ldots\lt a_{i+m-1}$ или неравенства $a_i\gt a_{i+1}\gt \ldots\gt a_{i+m-1}$. Оказалось, что для каждого натурального $k$ член $a_k$ содержится в некотором монотонном отрезке длины $k+1$. Докажите, что существует натуральное $N$ такое, что последовательность $a_N$, $a_{N+1}$, … монотонна, т. е. $a_N\lt a_{N+1}\lt \ldots$ или $a_N\gt a_{N+1}\gt \ldots$
Ответ:
Решение:
Дана арифметическая прогрессия. Сумма первых её 10 членов равна 60, а сумма первых 20 её членов равна 320. Чему может быть равен 15-й член этой прогрессии?
Ответ:
Решение:
У Юры есть $n$ карточек, на которых написаны числа от 1 до $n$. После того, как Юра потерял одну из них, сумма чисел на оставшихся оказалась равна 101. Какое число написано на потерянной карточке?
Ответ:
Решение: