Найдите три несократимых дроби с числителями и знаменателями, не равными 1, сумма которых — целое число, и сумма дробей, обратных к ним — тоже целое число.
Ответ:
Решение:
В квадрате $5\times5$ расставили натуральные числа от 1 до 25, каждое по одному разу, так, что суммы чисел в каждой строке, каждом столбце и каждой из двух диагоналей совпали.
Оказалось, что в центре стоит число 18. Чему может быть равна сумма чисел в отмеченных клетках?
Оказалось, что в центре стоит число 18. Чему может быть равна сумма чисел в отмеченных клетках?
Ответ:
Решение:
В 10 кружков на картинке расставили целые числа от 0 до 9, каждое по разу. Между некоторыми парами из них нарисовали стрелку или отрезок, руководствуясь следующими правилами:
- Если числа отличаются хотя бы на 2, то от меньшего числа нарисовали стрелку к большему;
- Если числа отличаются на 1, то между ними нарисовали отрезок.
Ответ:
Решение:
Магический квадрат — это таблица $3\times3$, в которой расставлены числа так, что суммы по всем строкам, столбцам и двум главным диагоналям одинаковы. На рисунке изображён магический квадрат, в котором все числа, кроме трёх, стёрты. Найдите, чему равно число в левом верхнем углу квадрата.
| ? | 31 | 9 |
| 13 | ||
Ответ:
Решение:
В ряд выписано 11 чисел так, что сумма любых трёх идущих подряд чисел равна 18. При этом сумма всех чисел равна 64. Найдите центральное число.
Ответ:
Решение:
Расположите на плоскости точки $A$, $B$, $C$, $D$ и $E$ так, чтобы можно было указать ровно восемь треугольников с вершинами в отмеченных точках. Перечислите эти треугольники.
Ответ:
Решение:
Серёжа расставил в кружочках числа от 1 до 8 так, что каждое из чисел, кроме одного, использовано ровно по одному разу. Оказалось, что суммы чисел на каждой из пяти линий равны. Какое число Серёжа не использовал?
Ответ:
Решение:
Можно ли из всех прямоугольников размерами $1\times1$, $1\times3$, $1\times5$, $\ldots$, $1\times2019$, взятых по одному разу, сложить прямоугольник, каждая сторона которого больше 1?
Ответ:
Решение:
У короля есть 10 мудрецов. Однажды он выдал первому мудрецу одну золотую монету, второму — две монеты, третьему — три, …, десятому — десять. Затем он сказал, что каждую минуту мудрецы могут попросить его выдать девяти из них по одной золотой монете. Если в какой-то момент у всех мудрецов монет будет поровну, то они могут их забрать. Смогут ли мудрецы забрать золото?
Ответ:
Решение:
Можно ли в некоторые клетки таблицы $8\times8$ написать единицы, а в остальные — нули, так, чтобы во всех столбцах была разная сумма, а во всех строчках — одинаковая?
Ответ:
Решение:
Женя расставил по кругу числа от 1 до 10 в некотором порядке, а Дима в каждый промежуток между числами вписал их сумму. Могло ли так случиться, что все написанные Димой числа оказались различными?
Ответ:
Решение:
Петя нарисовал 5 прямых и заметил, что они пересекаются ровно в 6 точках. Нарисуйте 8 прямых так, чтобы они пересекались ровно в 11 точках.
Ответ:
Решение:
Паучок-ученик натянул паутину между 11 точками так, чтобы его паутинки нигде не пересекались, и в конце вернулся в исходную точку. Паук-учитель его похвалил, и лишь заметил, что настоящие мастера соблюдают эти же условия, но натягивают «правильную» паутину, у которой никакие отрезки не лежат на одной прямой. Помогите паучку соединить все 11 точек на рисунке «правильной» паутиной.
Ответ:
Решение:
33 богатыря выходят в дозор 33 дня. В первый день должен выйти один богатырь, во второй — два, в третий — три, и так далее, в последний день — все богатыри. Сможет ли дядька Черномор организовать дозоры так, чтобы все богатыри вышли в дозор одинаковое количество раз?
Ответ:
Решение:
В зоопарке есть 10 слонов и огромные чашечные весы. Известно, что если любые четыре слона встанут на левую чашу весов, а любые три — на правую, то левая чаша перевесит. Пять слонов встали на левую чашу и четыре — на правую. Обязательно ли левая чаша перевесит?
Ответ:
Решение:
Могут ли произведения всех ненулевых цифр двух последовательных натуральных чисел отличаться ровно в 54 раза?
Ответ:
Решение:
а) Разбейте натуральные числа от 1 до 10 на пары так, чтобы разность чисел в каждой паре была равна 2 или 3.
б) Можно ли натуральные числа от 1 до 2014 разбить на пары так, чтобы разность чисел в каждой паре была 2 или 3?
б) Можно ли натуральные числа от 1 до 2014 разбить на пары так, чтобы разность чисел в каждой паре была 2 или 3?
Ответ:
Решение:
В клетках квадрата $3\times3$ записаны буквы (см. рисунок). Можно ли их расставить так, чтобы любые две буквы, исходно отстоявшие на ход коня, после перестановки оказались в клетках, отстоящих на ход короля? (Например, из клетки с буквой $a$ конь может пойти в клетки с буквами $f$ и $h$, а король — в клетки с буквами $b$, $d$ и $e$.)
| $a$ | $b$ | $c$ |
| $d$ | $e$ | $f$ |
| $g$ | $h$ | $i$ |
Ответ:
Решение:
Соедините точки $A$ и $B$ (см. рисунок) ломаной из четырёх отрезков одинаковой длины так, чтобы одновременно выполнялись следующие условия:
1) концами отрезков могут быть только какие-то из отмеченных точек;
2) внутри отрезков не должно быть отмеченных точек;
3) соседние отрезки не должны лежать на одной прямой.
(Достаточно привести один пример.)
1) концами отрезков могут быть только какие-то из отмеченных точек;
2) внутри отрезков не должно быть отмеченных точек;
3) соседние отрезки не должны лежать на одной прямой.
(Достаточно привести один пример.)
Ответ:
Решение: