Решите уравнение \[ x+\log_2 x-\log_3 x+\log_4 x-7=\left(\dfrac34-\log_3\sqrt2\right)\cdot\log_2 49. \]
Ответ:
Решение:
Решите систему: \[ \begin{cases} x\left(1+x^2\right)\left(1+x^4\right)+y\left(1+y^2\right)\left(1+y^4\right)=0,\\ xy+1000=0. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
При каких значениях $n=1,2,\ldots,9$ уравнение \[ \left(\log_2^2\sin\left(\pi x+\frac{7\pi n}{6}\right)+\log_2\sin\left(\pi x+\frac{7\pi n}{6}\right)+0{,}5\right)\cdot\log_2\left(9\cdot3^{4x^2-6x}-2\cdot3^{2x^2-3x+2}+17\right)=3\log_2\sin\left(\pi x+\frac{7\pi n}{6}\right)+1{,}5 \] имеет решение?
Ответ:
Решение:
Решить систему уравнений \[\begin{cases} x+y^4-2y^2=\ln x,\\ 2\operatorname{arctg}x+\arcsin y=0.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Найти все пары вещественных чисел $(x,y)$, удовлетворяющие неравенству \[\log_{3^x+2^{-x}}\left(3-\cos4x+\sin\dfrac{3y}{2}\right)\leqslant\log_{\left(\left|\cos\frac y3\right|+\left|\sin\frac y3\right|\right)}\left(|\sin3x\cos2y|\right).\]
Ответ:
Решение:
Решить систему уравнений \[\begin{cases} \dfrac{xy}{4}+\dfrac{xz}{9}-\dfrac{yz}{25}=1+2\ln\dfrac{5x}{6},\\ \dfrac{xy}{4}+\dfrac{yz}{25}-\dfrac{xz}{9}=1+2\ln\dfrac{3y}{10},\\ \dfrac{yz}{25}+\dfrac{xz}{9}-\dfrac{xy}{4}=1+2\ln\dfrac{2z}{15}.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Найти все пары действительных чисел $(x;y)$, для которых справедливо равенство \[\log_{2\sqrt{y-x}}\left(2^{\sqrt{y-x}}-\sqrt{x\sqrt{y}-1}\right)=3^{\sqrt{x+y-2\sqrt{y}}}.\]
Ответ:
Решение:
Решить систему неравенств \[\begin{cases}x^2+9y^2-18y\leqslant 0,\\ 2x+3-2xy\leqslant 0.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Найдите все такие наборы чисел $x_1,x_2,\ldots,x_{n+1}$, что $x_1=x_{n+1}$ и при всех $k=1,\ldots,n$ выполнено равенство \[ 2\log_2 x_k\cdot\log_2 x_{k+1}-\log_2^2 x_k=9. \]
Ответ:
Решение:
Положительные числа $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ и $y$ удовлетворяют равенствам: \[ x_1+x_2+x_3+x_4+x_5-517-256y+96y^2=0 \] и \[ \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}+\frac{1}{x_5}+763-16y^3+y^4=0. \] Какое наибольшее значение может принимать $y$?
Ответ:
Решение:
Решите систему \[ \begin{cases} x_1^2+x_2^2+\ldots+x_{100}^2=x_1x_2+x_2x_3+\ldots+x_{100}x_1,\\ |x_1-1|+|x_2-2|+\ldots+|x_{100}-100|\leqslant 2500. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Решите систему \[ \begin{cases} \dfrac{x^7+y^7}{z^3}+\dfrac{y^7+z^7}{x^3}+\dfrac{z^7+x^7}{y^3}=2(xy)^2+2(yz)^2+2(zx)^2,\\ (\sqrt{yz}-2)(\sqrt{zx}-4)\leqslant 0. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Решите неравенство $\sqrt3\operatorname{tg}x-\sqrt[4]{\sin y}-\sqrt{\dfrac{3}{\cos^2x}+\sqrt{\sin y}-6}\geqslant\sqrt3$.
Ответ:
Решение:
Решите неравенство $\frac23g\left(\frac{g(x)}{3}\right)+2\sqrt{2-\frac{3}{g(x)}}\geqslant50g\left(g^2(x)\right)$, где $g(x)=\frac{3}{x^2-4x+5}$.
Ответ:
Решение:
Решить неравенство: $\frac{2}{\sqrt{x}+x^2}+\frac{2\sqrt{x}}{1+x^2}+\frac{2x^2}{\sqrt{x}+1}\geqslant 3$.
Ответ:
Решение:
Решите систему уравнений\[\begin{cases}\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{9}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}=9,\\4x^2+y^2+z^2=4,\\3\sqrt{3}x+y+\sqrt{3}z=3.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Решите систему уравнений\[\begin{cases}x_1^{10}+x_2^{10}+\ldots+x_{92}^{10}=3^{10}\\x_1^{33}+x_2^{33}+\ldots+x_{92}^{33}=3^{33}.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение: