Высота правильной треугольной пирамиды, проведённая из вершины основания к противоположной боковой грани, равна 4. Какие значения может принимать площадь полной поверхности такой пирамиды?
Ответ:
Решение:
Гора имеет форму правильной четырёхугольной пирамиды с основанием $ABCD$ и вершиной $S$, причём длина ребра основания равна 13 км, а боковые грани наклонены к основанию под углом $\beta$ ($\cos\beta=0{,}6$). Скорость туриста на ровной поверхности составляет 4 км/ч, а при подъёме или спуске под углом $\alpha$ к горизонту равна $4\cos^2\alpha$ км/ч. Может ли турист, находящийся в точке $A$, успеть на автобус, отходящий ровно через 6 часов 15 минут из точки $C$, если в середине пути он обязательно делает 9-минутную остановку?
Ответ:
Решение:
Пять рёбер тетраэдра имеют длины 2, 4, 5, 9 и 13. Определите, может ли при этом длина шестого ребра:
а) равняться 11;
б) равняться 11,1.
а) равняться 11;
б) равняться 11,1.
Ответ:
Решение:
Боковые рёбра $SA$, $SB$ и $SC$ треугольной пирамиды $SABC$ взаимно перпендикулярны. Точка $D$ лежит на основании пирамиды $ABC$ на расстоянии $\sqrt5$ от ребра $SA$, на расстоянии $\sqrt{13}$ от ребра $SB$ и на расстоянии $\sqrt{10}$ от ребра $SC$. Какое наименьшее значение может иметь объём пирамиды $SABC$ при этих условиях?
Ответ:
Решение:
В тетраэдре $ABCD$ скрещивающиеся рёбра попарно равны. Через середину отрезка $AH_A$, где $H_A$ — точка пересечения высот грани $BCD$, провели прямую $h_A$ перпендикулярно плоскости $BCD$. Аналогичным образом определили точки $H_B$, $H_C$, $H_D$ и построили прямые $h_B$, $h_C$, $h_D$ соответственно для трёх других граней тетраэдра. Докажите, что прямые $h_A$, $h_B$, $h_C$, $h_D$ пересекаются в одной точке.
Ответ:
Решение:
Даны две треугольные пирамиды с общим основанием $ABC$. Их вершины $S$ и $R$ лежат по разные стороны от плоскости $ABC$. Все боковые рёбра одной пирамиды параллельны соответствующим боковым граням другой. Докажите, что объём одной пирамиды вдвое больше объёма другой.
Ответ:
Решение:
В тетраэдре $ABCD$ суммы трёх плоских углов при каждой вершине равны $180^\circ$. Найдите объём тетраэдра, если $BC=4$, $\cos\angle BAC=3/4$, $\sin\angle CBD=5\sqrt7/16$.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной пирамиде $ABCD$ сторона основания $ABC$ равна $12$, $\angle ADB=2\,\mathrm{arctg}(3/4)$. В треугольнике $ABD$ проведена биссектриса $BA_1$, а в треугольнике $BCD$ проведены медиана $BC_1$ и высота $CB_1$. Найти:
1) объем пирамиды $A_1B_1C_1D$;
2) площадь проекции треугольника $A_1B_1C_1$ на плоскость $ABC$.
1) объем пирамиды $A_1B_1C_1D$;
2) площадь проекции треугольника $A_1B_1C_1$ на плоскость $ABC$.
Ответ:
Решение:
Треугольная пирамидка, все рёбра которой имеют длину 6 см, стоит на плоском столе. Пирамидку перекатывают по столу через рёбра 6 раз таким образом, что одна из её вершин всё время остаётся неподвижной, при этом два раза подряд через одно и то же ребро пирамидку не перекатывают. Найдите длину траектории, по которой за время этих перекатываний перемещается подвижная вершина пирамиды.
Ответ:
Решение:
Через точки $L$, $M$, $N$, лежащие соответственно на рёбрах $AB$, $AC$, $AD$ правильного тетраэдра $ABCD$, проведена плоскость. Известно, что рёбра тетраэдра равны 1, объём пирамиды $ALMN$ равен $\sqrt{2}/48$ и $AL=1/3$. Какие значения может принимать длина отрезка $MN$?
Ответ:
Решение:
Тетраэдр с ребром $1$ повернули на $90^\circ$ относительно прямой, соединяющей середины противоположных рёбер. Найдите объём общей части нового и исходного тетраэдров.
Ответ:
Решение:
Имеются одна треугольная и одна четырёхугольная пирамиды, все рёбра которых равны 1. Покажите, как разрезать их на несколько частей и склеить из этих частей куб (без пустот и щелей, все части должны использоваться).
Ответ:
Решение:
У многогранника, изображенного на рисунке, грани — четыре правильных пятиугольника, четыре треугольника и два квадрата. Во сколько раз сторона верхнего квадрата больше стороны нижнего?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Петя на ребре $AB$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметил точку $X$, делящую ребро $AB$ в отношении $1:2$, считая от вершины $A$. Приведите пример, как Петя может отметить на рёбрах $CC_1$ и $A_1D_1$ соответственно точки $Y$ и $Z$, чтобы треугольник $XYZ$ был равносторонним. Пример обоснуйте.
Ответ:
Решение:
Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Точка $P$ — середина ребра $AA_1$, точка $Q$ — середина ребра $CD$, точка $R$ — середина ребра $B_1C_1$. Докажите, что $\angle PB_1Q\lt \angle PRQ$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ площадь треугольника $BCC_1$ равна 1, треугольника $ACC_1$ — 34.
1. Пусть $S$ — площадь треугольника $CDC_1$. Найдите $S^2$.
2. Оказалось, что площадь треугольника $ABC_1$ равна 46. Чему равна площадь треугольника $ABC$?
1. Пусть $S$ — площадь треугольника $CDC_1$. Найдите $S^2$.
2. Оказалось, что площадь треугольника $ABC_1$ равна 46. Чему равна площадь треугольника $ABC$?
Ответ:
Решение:
Боковые грани пирамиды — четыре равных равнобедренных треугольника. На этих гранях проведены отрезки, параллельные основанию, как показано на чертеже. Длины путей, отмеченные на чертежах красным, соответственно равны $a$, $b$ и $c$.
Выберите верное утверждение:
a) $c\gt b=a$,
b) $b=c\gt a$,
c) $a=b=c$,
d) $a\lt b\lt c$.
Выберите верное утверждение:
a) $c\gt b=a$,
b) $b=c\gt a$,
c) $a=b=c$,
d) $a\lt b\lt c$.
Ответ:
Решение:
В треугольной пирамиде $SABC$ боковое ребро $SA$ перпендикулярно основанию $ABC$. Известно, что биссектрисы плоских углов $BAC$ и $BSC$ пересекаются. Докажите, что углы $ABC$ и $ACB$ равны.
Ответ:
Решение:
Существует ли тетраэдр $ABCD$, в котором $AB=AC=AD=BC$, а суммы плоских углов при каждой из вершин $B$ и $C$ равны по $150^\circ$?
Ответ:
Решение: