Дана прямая призма $ABCA_1B_1C_1$. Известно, что треугольники $A_1BC$, $AB_1C$, $ABC_1$ и $ABC$ — остроугольные. Докажите, что точки пересечения высот этих треугольников вместе с точкой пересечения медиан треугольника $ABC$ лежат на одной сфере.
Ответ:
Решение:
Три диагонали правильной $n$-угольной призмы пересекаются в одной внутренней точке $O$. Докажите, что точка $O$ — центр призмы. (Диагональ призмы — это отрезок, соединяющий две её вершины, не находящиеся в одной грани.)
Ответ:
Решение:
В сосуде, имеющем форму правильной треугольной призмы, находилась вода, причём её уровень составлял 30 сантиметров. Всю эту воду перелили в пустой сосуд, имеющий форму правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой вдвое меньше стороны основания треугольной призмы.
Чему равен уровень воды теперь? Ответ выразите в сантиметрах.
Чему равен уровень воды теперь? Ответ выразите в сантиметрах.
Ответ:
Решение:
Точки $M$, $N$ и $K$ расположены на боковых рёбрах $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ так, что $AM:AA_1=1:2$, $BN:BB_1=1:3$, $CK:CC_1=1:4$. Точка $P$ принадлежит призме. Найдите наибольшее возможное значение объёма пирамиды $MNKP$, если объём призмы равен $16$.
Ответ:
Решение:
Коробка конфет имеет форму правильной шестиугольной призмы со стороной основания $10$ и высотой $5\sqrt{3}$. Из двух разных вершин коробки $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ одновременно с одной и той же скоростью начинают двигаться две мухи, меняя направление движения только в вершинах. Одна муха начинает движение в вершине $A$ и двигается только по рёбрам призмы, другая — только по диагоналям оснований и боковых граней. Через некоторое время мухи встречаются. В каких вершинах коробки может произойти встреча?
Ответ:
Решение:
В основании призмы лежит равносторонний треугольник площади 1. Площади её боковых граней равны 3, 3 и 2. Найдите объём призмы.
Ответ:
Решение:
Площадь проекции прямой четырёхугольной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с параллелограммом $ABCD$ в основании на плоскость, перпендикулярную её диагонали $AC_1$, равна $\sqrt{41}$. Чему будет равна площадь проекции этой призмы на плоскость, перпендикулярную диагонали $BD_1$, если $AA_1=5$, $AC=12$, $BD=4$?
Ответ:
Решение:
Через вершины $A_1$ и $C$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ проведена плоскость $\alpha$, параллельная прямой $BC_1$. Сторона основания призмы равна 6, а боковое ребро равно 2.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $AB$ пополам.
б) Найдите расстояние от прямой $BC_1$ до плоскости $\alpha$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $AB$ пополам.
б) Найдите расстояние от прямой $BC_1$ до плоскости $\alpha$.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания $AB=2\sqrt{3}$, высота призмы равна $AA_1=\sqrt{73}$. На середине ребра $BB_1$ взята точка $K$, а на ребре $CC1$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=2:1$. Найти угол между прямыми $AK$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания $AB=2\sqrt6$, высота призмы равна $AA_1=6$. На середине ребра $BB_1$ взята точка $K$, а на ребре $CC1$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=2:1$. Найти угол между прямыми $AK$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания равна $AB=2$, боковое ребро призмы $AA_1=3$. На ребре $CC_1$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=2:1$. Найти угол между прямыми $AB_1$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит параллелограмм $ABCD$. На рёбрах $A_1B_1, B_1C_1$ и $BC$ отмечены точки $M, K$ и $N$ соответственно, причём $B_1K : KC_1 = 1 : 3$. Четырёхугольник $AMKN$ — равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 4.
a) Докажите, что точка $N$ — середина ребра $BC$.
б) Найдите площадь трапеции $AMKN$, если объём призмы равен 24, а высота призмы равна 3.
a) Докажите, что точка $N$ — середина ребра $BC$.
б) Найдите площадь трапеции $AMKN$, если объём призмы равен 24, а высота призмы равна 3.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания $AB=3$, высота $AA_1=4$. На продолжении стороны основания $BC$ за точку $C$ взяли точку $M$ так, что точка $C$ — середина отрезка $BM$.
а) Найти косинус угла между прямыми $A_1B$ и $B_1M$.
б) Построить сечение призмы плоскостью $(AB_1M)$ и найти его площадь.
а) Найти косинус угла между прямыми $A_1B$ и $B_1M$.
б) Построить сечение призмы плоскостью $(AB_1M)$ и найти его площадь.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ со стороной основания $AB=8$ и высотой $AA_1=6$ найти угол между $AB_1$ и $BC_1$.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания равна $4$, а боковое ребро $AA_1=\sqrt{22}$. Точка $M$ — середина ребра $A_1C_1$. Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки $A$, $B$ и $M$. Найдите площадь получившейся в сечении равнобедренной трапеции.
Ответ:
Решение:
В правильной четырёхугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ сторона основания равна $3$, а боковое ребро $AA_1=\sqrt{34}$. Точка $M$ принадлежит ребру $B_1C_1$ и делит его в отношении $2:1$, считая от вершины $B_1$. Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки $B$, $D$ и $M$. Найдите площадь получившейся в сечении равнобедренной трапеции.
Ответ:
Решение:
В правильной четырёхугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ сторона основания $AB=6$, высота призмы $AA_1=3\sqrt2$. Найти угол $AB_1D_1A_1$.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания $AB=18$, боковое ребро $AA_1=\sqrt{13}$. На ребре $B_1C_1$ взята точка $M$ так, что $B_1M:MC_1=2:1$. Построить сечение призмы плоскостью $(ABM)$ и найти его площадь.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 2, на середине ребра $CC_1$ взята точка $M$. Найти угол между прямыми $AB_1$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной призме $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ все рёбра равны 2. Точка $M$ — середина ребра $AA_{1}$.
а) Докажите, что прямые $MB$ и $B_{1}C$ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми $MB$ и $B_{1}C$
а) Докажите, что прямые $MB$ и $B_{1}C$ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми $MB$ и $B_{1}C$
Ответ:
Решение: