Про тетраэдр $PQRS$ известно, что $PQ=4$, $SR=6$, $\angle QRS=\angle PSR=50^\circ$, $\angle QSR=\angle PRS=40^\circ$. Вокруг тетраэдра описана сфера. Рассмотрим на этой сфере множество всех точек, сумма сферических расстояний от которых до точек $P$, $Q$, $R$, $S$ не меньше $6\pi$. Чему равна площадь этого множества? Сферическое расстояние между двумя точками на сфере — длина наименьшей дуги окружности большого круга, соединяющей эти точки.
Ответ:
Решение:
В $2022$ году исполняется $65$ лет запуска первого искусственного спутника Земли (ИСЗ). В настоящее время для обеспечения бесперебойной работы сотовой связи, систем теле и радиовещания используются различные виды спутников, находящихся на различных орбитах, на различных высотах.
Зоной покрытия спутника назовем часть поверхности земного шара, в пределах которой обеспечивается уровень сигналов к спутнику и от него, необходимый для их приема с заданным качеством в конкретный момент времени. Как правило, эта часть поверхности ограничивается окружностью, проходящей по линии видимого горизонта. На рисунке - линия проходит через точку Г.
а) Определите площадь земной поверхности (в км$^2$), которая является зоной покрытия спутника, находящегося на высоте $H=500$ км относительно земной поверхности, считая ее сферой радиуса $R=6400$ км c центром в точке $O$.
б) Найдите все значения $n\gt 1$, для которых на поверхности земли можно расположить окружности $C_1,\ \ldots,\ C_n$, каждая из которых внешним образом касается окружности $C_0$, с центром в точке $A$ и радиусом $r\lt R$, каждая из них является границей зоны покрытия ИСЗ, находящегося на той же высоте $H$, что и спутник с зоной покрытия $C_0$. Каждая из зон покрытия $C_i$ должна внешним образом касаться окружностей $C_0$ и $C_{i+1}$, $i=0,1,\ldots,n-1$, т. е. первая касается $C_0$ и $C_2$, вторая — $C_0$ и $C_3$, и т. д. Окружность $C_n$ должна касаться $C_0$ и $C_1$.
Зоной покрытия спутника назовем часть поверхности земного шара, в пределах которой обеспечивается уровень сигналов к спутнику и от него, необходимый для их приема с заданным качеством в конкретный момент времени. Как правило, эта часть поверхности ограничивается окружностью, проходящей по линии видимого горизонта. На рисунке - линия проходит через точку Г.
а) Определите площадь земной поверхности (в км$^2$), которая является зоной покрытия спутника, находящегося на высоте $H=500$ км относительно земной поверхности, считая ее сферой радиуса $R=6400$ км c центром в точке $O$.
б) Найдите все значения $n\gt 1$, для которых на поверхности земли можно расположить окружности $C_1,\ \ldots,\ C_n$, каждая из которых внешним образом касается окружности $C_0$, с центром в точке $A$ и радиусом $r\lt R$, каждая из них является границей зоны покрытия ИСЗ, находящегося на той же высоте $H$, что и спутник с зоной покрытия $C_0$. Каждая из зон покрытия $C_i$ должна внешним образом касаться окружностей $C_0$ и $C_{i+1}$, $i=0,1,\ldots,n-1$, т. е. первая касается $C_0$ и $C_2$, вторая — $C_0$ и $C_3$, и т. д. Окружность $C_n$ должна касаться $C_0$ и $C_1$.
Ответ:
Решение:
Три шара радиуса $r$ касаются друг друга и шара радиуса $R$ внешним образом. При каком соотношении между $r$ и $R$ это возможно? Считая, что $R\gt r$, найти радиус шара, касающегося всех четырех шаров внешним образом.
Ответ:
Решение:
В четырёхугольной пирамиде $SABCD$ известны длины всех рёбер: \[ AB=BC=CD=DA=5,\ SB=2\sqrt{5},\ SA=SC=3\sqrt{5},\ SD=2\sqrt{10}. \] Сфера $\omega$ с диаметром $SB$ пересекает грани пирамиды по множеству, состоящему из точки $S$ и линии $L$, не содержащей точку $S$. Найдите длину линии $L$.
Ответ:
Решение:
Женя красила шарообразное яйцо последовательно в пяти красках, погружая его в стакан с очередной краской так, чтобы окрашивалась ровно половина площади поверхности яйца (полсферы). В результате яйцо окрасилось полностью. Докажите, что одна из красок была лишней, то есть если бы Женя не использовала эту краску, а в другие краски погружала бы яйцо так же, то оно всё равно окрасилось бы полностью.
Ответ:
Решение:
В пространстве (но не в одной плоскости) расположены шесть различных точек: $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ и $F$. Известно, что отрезки $AB$ и $DE$, $BC$ и $EF$, $CD$ и $FA$ попарно параллельны. Докажите, что эти же отрезки попарно равны.
Ответ:
Решение:
Рассмотрим правильную десятиугольную призму $A_1A_2\ldots A_{10}B_1B_2\ldots B_{10}$. Найдите количество прямых, проходящих через две вершины этой призмы и скрещивающихся с диагональю $A_1B_6$.
Ответ:
Решение:
Женя взял доску $3\times3$ и на каждую клетку поставил столбик из синих и красных кубиков. Потом он зарисовал схему получившейся расстановки: подписал количество кубиков обоих цветов в каждом столбике (порядок кубиков неизвестен).
Какое наибольшее количество синих кубиков может увидеть Женя, если посмотрит на конструкцию спереди? (Например, если перед столбиком из 8 кубиков стоит столбик из 5, то будет видно все 5 кубиков ближнего столбика и только 3 верхних кубика дальнего столбика.)
Какое наибольшее количество синих кубиков может увидеть Женя, если посмотрит на конструкцию спереди? (Например, если перед столбиком из 8 кубиков стоит столбик из 5, то будет видно все 5 кубиков ближнего столбика и только 3 верхних кубика дальнего столбика.)
Ответ:
Решение:
Женя покрасил три грани белого кубика $6\times6\times6$ в красный цвет. Затем он распилил его на 216 одинаковых маленьких кубиков $1\times1\times1$. Сколько у него могло получиться маленьких кубиков без красных граней? Укажите все возможные варианты.
Ответ:
Решение:
На четырёх рисунках изображена одна и та же фигура с разных сторон, а на одном рисунке изображена другая фигура. Выберите номер фигуры, отличающейся от остальных.
Ответ:
Решение:
Конфеты имеют форму кубиков $1\times1\times1$. Учитель сложил из них параллелепипед $3\times4\times5$ и предложил детям угощаться. В первую минуту Петя взял одну из угловых конфет (см. рисунок). Каждую следующую минуту дети забирали все конфеты, у которых была соседняя грань с уже отсутствующими конфетами (например, во вторую минуту забрали 3 конфеты). За сколько минут дети разобрали все конфеты?
Ответ:
Решение:
Есть 7 абсолютно одинаковых кубиков, у которых отмечены на одной грани 3 точки, на двух гранях по 2 точки, на остальных по 1. Из этих кубиков склеили фигуру в виде буквы «П», изображённую на рисунке, причём количество точек на любых двух соприкасающихся гранях одинаково.
Что находится на трёх левых гранях $A$, $B$ и $C$?
Что находится на трёх левых гранях $A$, $B$ и $C$?
Ответ:
Решение:
Есть 4 абсолютно одинаковых кубика, у каждого из которых на одной грани отмечены 6 точек, на другой — 5, …, на оставшейся — 1. Известно, что на любых двух противоположных гранях кубика суммарно 7 точек.
Из этих 4 кубиков склеили фигуру, изображённую на рисунке. Известно, что на каждой паре склеенных граней отмечено одинаковое количество точек. Сколько точек на гранях $A$, $B$, $C$?
Из этих 4 кубиков склеили фигуру, изображённую на рисунке. Известно, что на каждой паре склеенных граней отмечено одинаковое количество точек. Сколько точек на гранях $A$, $B$, $C$?
Ответ:
Решение:
Яша сложил две фигуры из кубиков как показано на рисунке. В общей сложности он использовал 35 кубиков. Чтобы окрасить поверхность первой фигуры (включая поверхность, которая соприкасается с полом), Яша использовал 162 грамма краски. Сколько грамм краски необходимо для того, чтобы окрасить поверхность второй фигуры?
Ответ:
Решение:
Федя вырезал из клетчатого листа бумаги одну из красных фигурок, изображенных ниже.
Затем он наклеил её на поверхность белого кубика. Получилось, как на рисунке ниже:
Выберите, какую из фигурок взял Федя.
Затем он наклеил её на поверхность белого кубика. Получилось, как на рисунке ниже:
Выберите, какую из фигурок взял Федя.
Ответ:
Решение:
У Веры есть 27 кубиков с ребром 1 см: 9 красных и 18 синих. Она сложила из них куб с ребром 3 см. Может ли на поверхности куба количество красных квадратиков со стороной 1 см равняться количеству таких же синих?
Ответ:
Решение:
На одной грани игрального кубика нарисована одна точка, на другой грани — две, на третьей — три, и т. д. Четыре одинаковых игральных кубика сложены так, как показано на рисунке. Сколько в общей сложности точек находится на 6 гранях, которыми касаются кубики?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Петя на ребре $AB$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметил точку $X$, делящую ребро $AB$ в отношении $1:2$, считая от вершины $A$. Приведите пример, как Петя может отметить на рёбрах $CC_1$ и $A_1D_1$ соответственно точки $Y$ и $Z$, чтобы треугольник $XYZ$ был равносторонним. Пример обоснуйте.
Ответ:
Решение:
Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Точка $P$ — середина ребра $AA_1$, точка $Q$ — середина ребра $CD$, точка $R$ — середина ребра $B_1C_1$. Докажите, что $\angle PB_1Q\lt \angle PRQ$.
Ответ:
Решение: