Мальчик едет на самокате от одной автобусной остановки до другой и смотрит в зеркало, не появился ли сзади автобус. Как только мальчик замечает автобус, он может изменить направление движения. При каком наибольшем расстоянии между остановками мальчик гарантированно не упустит автобус, если он знает, что едет со скоростью втрое меньшей скорости автобуса и способен увидеть автобус на расстоянии не более 2 км?
Ответ:
Решение:
Из пункта А в пункт В в 9-00 утра выезжает автобус. В этот же момент из В в А выезжают грузовик и трактор, причём скорость грузовика в два раза больше скорости трактора. Автобус прибывает в В тот же день в 14 часов 50 минут, при этом он встречает грузовик не ранее 11 часов 30 минут утра. Определите время прибытия трактора в пункт А, если между моментами встреч автобуса с грузовиком и автобуса с трактором проходит не менее одного часа.
Ответ:
Решение:
Четыре лифта небоскреба, отличающиеся цветовой гаммой (красный, синий, зеленый и желтый) движутся в разных направлениях и с разной, но постоянной скоростью. Наблюдая за лифтами, некто включил секундомер, и, глядя на его показания, стал записывать: $36$-я секунда — красный лифт догнал синий (двигаясь с ним в одном направлении). $42$-я секунда — красный лифт разминулся с зеленым (двигаясь в разных направлениях), $48$-я секунда — красный лифт разминулся с желтым, $51$-я секунда — желтый лифт разминулся с синим, $54$-я секунда — желтый лифт догнал зеленый лифт. На какой секунде от начала отсчета зеленый лифт разминется с синим, если за период наблюдения лифты не останавливались и не меняли направления движения?
Ответ:
Решение:
Школьник Иванов проплывает на плоту путь между городами $A$ и $B$ за 15 часов. На моторной лодке вместе с папой он проплывает весь путь от $A$ до $B$ и обратно не менее чем за 8 часов. Точно такое же путешествие, но вместе с дедушкой (от $A$ до $B$ и обратно) занимает по времени не более 20 часов, при этом собственная скорость лодки при управлении дедушкой на $50\%$ меньше, чем у папы. Сколько часов школьник вместе с дедушкой плывут на моторной лодке от города $A$ до города $B$?
Ответ:
Решение:
На беговой дорожке стадиона длиной 400 м одновременно со старта в одном направлении начали забег два спортсмена на дистанцию 10 км. Каждый из них бежал со своей постоянной скоростью. Первый спортсмен пришел на финиш на 16 мин 40 с раньше второго и через 43 мин 20 с после того, как он второй раз на дистанции (не считая момента старта) обогнал второго спортсмена. Известно, что скорость первого спортсмена больше 100 м/мин. Сколько раз первый спортсмен обогнал второго на дистанции после старта?
Ответ:
Решение:
По шоссе в одном направлении с постоянной скоростью через равные интервалы времени идут без остановок автобусы. Один человек прошёл по шоссе 4 км, и за это время его обогнали 6 автобусов. В другой раз он прошёл 7 км и за это время его обогнали 8 автобусов. В третий раз он прошёл 17 км. Сколько автобусов при этом могло его обогнать? (Все три раза человек шел с одной и той же скоростью.) В ответ напишите сумму всех возможных решений.
Ответ:
Решение:
Населённые пункты $A$, $B$, $C$ и $D$ находятся на берегу реки, причём $A$ и $D$ — вниз по течению реки, а $B$ — вверх по течению реки относительно пункта $C$. Пункты $A$ и $B$ находятся на одинаковом расстоянии 10 км по реке от пункта $C$, а расстояние между пунктами $C$ и $D$ по реке равно 105 км. Первый корабль отправляется из $B$ в сторону $C$, а через 6 минут после этого второй корабль отправляется из $B$ в $C$ и одновременно с ним 3-й отправляется из $A$ в $C$. В пункт $C$ все 3 корабля приплывают одновременно, после чего одновременно все три корабля отправляются в пункт $D$. 3-й корабль, доплыв до пункта $D$, сразу разворачивается и отправляется назад. На обратном пути 3-й корабль встречает второй в 15 км от пункта $D$, а первый — в 25 км от $D$. Найдите скорость течения реки и собственные скорости всех трёх кораблей.
Ответ:
Решение:
Два пешехода одновременно выходят из одного пункта и идут в одном направлении (скорость первого больше скорости второго). Через некоторое время из того же пункта в том же направлении выдвигается третий пешеход. Через 4 часа после старта первых двух пешеходов он оказывается ровно посередине между первым и вторым пешеходами, а ещё через 2 часа после этого третий пешеход догнал первого, после чего сразу развернулся и пошёл в обратном направлении, встретив второго пешехода через 36 минут после того, как сменил направление движения.
Определите:
а) через какое время после старта первых двух пешеходов вышел в путь третий?
б) во сколько раз скорость первого пешехода больше скорости второго?
Определите:
а) через какое время после старта первых двух пешеходов вышел в путь третий?
б) во сколько раз скорость первого пешехода больше скорости второго?
Ответ:
Решение:
Группа отдыхающих в течение 2 ч 40 мин каталась на моторной лодке по реке с постоянной скоростью (относительно воды) попеременно то по течению, то против: в каждую сторону — в общей сложности не менее чем по 1 ч. В итоге лодка прошла путь 40 км (относительно берега) и, отчалив от пристани $A$, причалила к пристани $B$ на расстоянии 10 км от $A$. В какую сторону текла река? Какова при этих условиях максимальная скорость её течения?
Ответ:
Решение:
Три черепахи одновременно начинают двигаться в одной плоскости по трём концентрическим окружностям с общим центром $O$ и радиусами $R_1=2$ м для первой, $R_2=3$ м для второй и $R_3=9$ м для третьей черепахи. В начальный момент времени черепахи находятся на одном луче с вершиной в точке $O$. Все черепахи двигаются против часовой стрелки с постоянными скоростями, причём скорость третьей черепахи в шесть раз больше скорости второй и относится к скорости первой черепахи как $9:4$. Черепахи продолжают своё движение до тех пор, пока не закончит свой круг последняя из них (та, что потратит на обход своего круга больше всего времени). Сколько раз за это время они окажутся на одной прямой, не проходящей через центр $O$?
Ответ:
Решение:
Автомобили Нива и Тойота едут по кольцевой трассе испытательного полигона, четверть которой проходит по грунтовой дороге, а оставшаяся часть — по асфальтовой. Скорость Нивы на грунтовой дороге равна 80 км/ч, а на асфальтовой — 90 км/ч. Скорость Тойоты на грунтовой дороге равна 40 км/ч, а на асфальтовой — 120 км/ч. Автомобили одновременно стартуют в начале грунтовой части трассы и сначала едут по этой грунтовой части. На каком по счёту круге один из автомобилей впервые обгонит другой?
Ответ:
Решение:
Велосипедист и мотоциклист едут с постоянными скоростями по имеющей форму окружности кольцевой трассе. Если они едут навстречу друг другу, то регулярно встречаются, причём расстояние по прямой между точками последовательных (по времени) встреч равно $4022$ м. Если они едут в одном направлении, то мотоциклист регулярно (хотя и реже) обгоняет велосипедиста, причём расстояние по прямой между точками последовательных (по времени) обгонов также равно $4022$ м. Если велосипедист стоит и отдыхает, то мотоциклист проезжает мимо него каждые $32$ минуты. Если же, наоборот, отдыхает мотоциклист, то велосипедист проезжает мимо него реже, чем каждые $55$ минут, но чаще, чем каждые $64$ минуты. Найдите радиус окружности, по которой проходит трасса.
Ответ:
Решение:
В 9:00 из пункта $A$ в пункт $B$ выехали велосипедист Петр и мотоциклист Василий, а из $B$ в $A$ по той же дороге выехал мотоциклист Георгий. В 10:00 мотоциклисты встретились и зашли в кафе, проведя там не менее 75 мин и расставшись в тот момент, когда Петр проезжал мимо. Продолжив движение, Василий прибыл в пункт $B$ не позже 11:55, а Георгий прибыл в конечный пункт одновременно с Петром. Найдите время прибытия Петра и Георгия, если скорости всех участников постоянны.
Ответ:
Решение:
У канала шириной $20$ метров от берега $А$ до середины вода течёт со скоростью $1$ м/сек, а после середины до берега $Б$ скорость течения удваивается. На берегу $А$ у воды сидит Гидра. Напротив, на расстоянии $7$ метров от берега $Б$, сидит её подруга Выдра. Они одновременно бросаются навстречу друг другу — Гидра со скоростью $1$ м/сек, а Выдра со скоростью $V$ (и на суше, и в воде). Они обе держат путь перпендикулярно каналу, но вода, конечно, будет сносить их в сторону. Найдите скорость $V$, при которой встреча подруг произойдет как можно ближе к середине канала.
Ответ:
Решение:
Три спортсмена стартовали одновременно из точки $A$ и бежали по прямой в точку $B$ каждый со своей постоянной скоростью. Добежав до точки $B$, каждый из них мгновенно повернул обратно и бежал с другой постоянной скоростью к финишу в точке $A$. Их тренер бежал рядом и все время находился в точке, сумма расстояний от которой до участников забега была наименьшей. Известно, что расстояние от $A$ до $B$ равно $60$ м и все спортсмены финишировали одновременно. Мог ли тренер пробежать меньше $100$ м?
Ответ:
Решение:
Три велосипедиста ездят в одном направлении по круглому треку длиной $300$ метров. Каждый из них движется со своей постоянной скоростью, все скорости различны. Фотограф сможет сделать удачный снимок велосипедистов, если все они окажутся на каком-либо участке трека длиной $d$ метров. При каком наименьшем $d$ фотограф рано или поздно заведомо сможет сделать удачный снимок?
Ответ:
Решение:
Заряда аккумулятора мобильного телефона Маши хватает на $8$ часов разговора или на $48$ часов в режиме ожидания. Когда Маша села в поезд, аккумулятор был заряжен, а когда Маша вышла из поезда, телефон полностью разрядился. Сколько часов длилась поездка, если известно, что Маша говорила по телефону $20\%$ этого времени?
Ответ:
Решение:
Лошадь съедает 1 ц корма за 8 дней, осёл — за 12 дней, а верблюд — за 8 дней. На сколько дней хватит 85 ц корма 7 лошадям, 5 ослам и 5 верблюдам?
Ответ:
Решение:
Папа, мама, дедушка, бабушка и маленький Алёша сажали картофель. Если бы папа сажал картофель в два раза быстрее, то они бы потратили на 18% меньше времени на посадку. Если бы мама сажала в два раза быстрее, то они потратили бы на 12% меньше времени. Если бы дедушка сажал в два раза быстрее, то потратили бы на 10% меньше времени. Если бы бабушка сажала в два раза быстрее, то они потратили бы на 8% меньше времени. На сколько процентов меньше времени они бы потратили, если бы Алёша сажал картофель в два раза быстрее?
Ответ:
Решение:
Двое рабочих должны были изготовить по 36 деталей. Второй рабочий начал работать на 24 минуты позднее первого. По две трети задания они выполнили к одному времени, и чтобы закончить работу вместе с первым рабочим, второй сделал за него две детали. Сколько деталей в час изготавливал второй рабочий?
Ответ:
Решение: