Даны натуральные числа $a$ и $b$. Докажите, что существует бесконечно много натуральных $n$ таких, что число $a^n+1$ не делится на $n^b+1$.
Ответ:
Решение:
Некоторое натуральное число $a$ разделили с остатком на числа 1, 2, 3, $\ldots$, 1000. Могло ли так случиться, что среди остатков ровно по 10 раз встретятся числа 0, 1, 2, 3, $\ldots$, 99?
Ответ:
Решение:
Две бесконечные последовательности $a_1, a_2, \ldots$ и $b_1, b_2, \ldots$ натуральных чисел таковы, что при любых различных натуральных $m$ и $k$ число $a_m-b_k$ делится на $m-k$. Обязательно ли $a_n=b_n$ при всех натуральных $n$?
Ответ:
Решение:
При некоторых натуральных $n\gt m$ число $n$ оказалось представимо в виде суммы 2021 слагаемых, каждое из которых равно некоторой целой неотрицательной степени числа $m$, а также в виде суммы 2021 слагаемых, каждое из которых равно некоторой целой неотрицательной степени числа $m+1$. При каком наибольшем $m$ это могло произойти (хоть при каком-то $n\gt m$)?
Ответ:
Решение:
Найдите такое наибольшее $n$, что сумма четвёртых степеней любых $n$ простых чисел, больших 10, делится на $n$.
Ответ:
Решение:
По кругу расставлены 100 различных натуральных чисел. Вася разделил каждое из них с остатком на следующее по часовой стрелке; при этом оказалось, что остатки, полученные Васей, принимают всего два различных значения. Петя разделил каждое из чисел с остатком на следующее против часовой стрелки. Докажите, что все остатки, полученные Петей, различны.
Ответ:
Решение:
При каком наименьшем натуральном $n$ существуют такие целые $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$, что квадратный трёхчлен \[ x^2-2(a_1+a_2+\ldots+a_n)^2x+\left(a_1^4+a_2^4+\ldots+a_n^4+1\right) \] имеет по крайней мере один целый корень?
Ответ:
Решение:
Серёжа выбрал два различных простых числа $p$ и $q$. Он считает натуральное число $n$ хорошим, если число $p+q$ можно представить в виде суммы ровно $q$ чисел, каждое из которых имеет вид $n^k$ при целом неотрицательном $k$. (Например, если бы Серёжа выбрал $p=7$ и $q=3$, то он бы счёл число $n=2$ хорошим, поскольку $7+3=2^3+2^0+2^0$.) Докажите, что Серёжа считает хорошими не более двух чисел.
Ответ:
Решение:
Остаток от деления натурального числа $n$ на 2021 на 800 больше, чем остаток от деления числа $n$ на 2020. Найдите наименьшее такое $n$.
Ответ:
Решение:
На экране компьютера горит число, а на пульте компьютера есть две кнопки. Нажатие на одну из кнопок переводит число $n$, написанное на экране, в $2n-1$, а на другую — в $2n+1$. Пока оператор отсутствовал, хулиган Вася подкрался к пульту и произвёл сто несанкционированных нажатий на кнопки. Докажите, что по числу, которое теперь горит на экране, оператор (знающий, сколько раз Вася нажимал на кнопки и какое число было на экране до прихода Васи) сможет определить, в каком порядке Вася нажимал на кнопки, если число, горевшее вначале на экране:
1. целое;
2. произвольное.
1. целое;
2. произвольное.
Ответ:
Решение:
По кругу расставлены 100 натуральных чисел. Каждое из них разделили с остатком на следующее по часовой стрелке. Могло ли получиться 100 одинаковых ненулевых остатков?
Ответ:
Решение:
Назовём натуральное число $n$ увлекательным, если в клетках квадратной таблицы $n\times n$ можно расставить числа от 1 до $n^2$ так, чтобы сумма чисел в клетках любого квадратика $2\times 2$ делилась на 4.
1. Приведите пример числа $n$, которое не является увлекательным и удовлетворяет неравенствам $40\leqslant n\leqslant 49$.
2. Найдите количество увлекательных чисел среди чисел $10, 11, \ldots, 49$.
1. Приведите пример числа $n$, которое не является увлекательным и удовлетворяет неравенствам $40\leqslant n\leqslant 49$.
2. Найдите количество увлекательных чисел среди чисел $10, 11, \ldots, 49$.
Ответ:
Решение:
В компьютер ввели число 1. За одну операцию число в компьютере можно либо увеличить на 7, либо поделить на 2, если оно чётное (например, из числа 60 можно получить 30 или 67). При этом запрещается получать числа, большие 400.
Число назовём классным, если его можно получить в результате некоторой последовательности разрешённых операций. Сколько существует классных чисел?
Число назовём классным, если его можно получить в результате некоторой последовательности разрешённых операций. Сколько существует классных чисел?
Ответ:
Решение:
На доске написаны три последовательных нечётных числа. Может ли сумма остатков от деления этих трёх чисел на 2022 равняться некоторому простому числу?
Ответ:
Решение:
По кругу стоят 73 ребёнка. Злой Дед Мороз обходит круг по часовой стрелке и раздаёт конфеты. Вначале он выдал первому ребёнку одну конфету, затем 1 ребёнка пропустил, следующему ребёнку выдал одну конфету, затем 2 детей пропустил, следующему ребёнку выдал одну конфету, затем 3 детей пропустил и так далее.
Раздав 2020 конфет, он ушёл. Сколько детей так и не получили конфеты?
Раздав 2020 конфет, он ушёл. Сколько детей так и не получили конфеты?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Дано натуральное число $n$. $n$-Операция состоит в прибавлении к натуральному числу его остатка от деления на $n$. При каких натуральных $n$, больших 1, из каждого натурального числа за несколько $n$-операций получается число, кратное $n$?
Ответ:
Решение:
Вася хочет несколько раз выписать в строчку число 12345 так, чтобы получившееся многозначное число делилось на 41. Какое наименьшее число раз ему нужно это сделать?
Ответ:
Решение:
У натурального числа стерли две последние цифры и полученное число прибавили к исходному. Могло ли в сумме получиться число $101^{50}-1$?
Ответ:
Решение:
Сумма остатков от деления трёх последовательных натуральных чисел на 2022 — простое число. Докажите, что одно из чисел делится на 2022.
Ответ:
Решение: