На доске написаны три натуральных числа, не превосходящих 40. За один ход можно увеличить любое из написанных чисел на число процентов, равное одному из двух оставшихся чисел, если в результате получится целое число. Существуют ли такие исходные числа, что за несколько ходов одно из чисел на доске можно сделать больше 2011?
Ответ:
Решение:
В квадрате $6\times6$ расставили цифры так, что в верхней строке и левом столбце нет нулей. Всего получилось 12 шестизначных чисел: 6 из горизонтальных строк квадрата (слева-направо) и 6 из вертикальных столбцов квадрата (сверху-вниз). Коля, Вадим и Костя запомнили их, но оказалось, что каждый пропустил одно из 12 чисел. Коля заметил, что каждое из его одиннадцати чисел, делится на 11, Вадим обнаружил, что все его одиннадцать чисел делятся на 7, а Костя нашел у своих одиннадцати чисел общий делитель 13. Исходный квадрат они потеряли, а числа забыли, но им показалось, что где-то среди 12 чисел была комбинация цифр подряд 2021. Могло ли такое быть? Ответ обоснуйте.
Ответ:
Решение:
В периодической десятичной дроби $0{,}242424\ldots$ первую цифру после запятой заменили на 4. Во сколько раз полученное число больше исходного?
Ответ:
Решение:
Из последовательности натуральных чисел $1, 2, 3, \ldots$ удалили все точные квадраты (квадраты целых чисел). Какое число будет находиться на 2018 месте среди оставшихся?
Ответ:
Решение:
При каких натуральных $n$ уравнение $\log_2 x+\log_2 x^3+\log_2 x^5+\ldots+\log_2 x^{2n-1}=5040$ имеет рациональное решение?
Ответ:
Решение:
Число $\dfrac{1711}{2011}$ обратили в бесконечную десятичную дробь, затем стёрли первую цифру после запятой и обратили получившуюся десятичную дробь в обыкновенную. Какую дробь получили?
Ответ:
Решение:
Найдите все пары натуральных чисел $x,y\in[1;8]$, удовлетворяющих равенству \[\sqrt{x x,xxx\ldots}=y,yyy\ldots\] (десятичная запись каждого из чисел $xx,xxx\ldots$ и $y,yyy\ldots$ состоит из бесконечного количества одинаковых цифр).
Ответ:
Решение:
Из последовательности натуральных чисел $1, 2, 3, \ldots$ удалили все точные квадраты (квадраты целых чисел). Какое число будет находиться на $2000$ месте среди оставшихся?
Ответ:
Решение:
Из последовательности натуральных чисел $1, 2, 3, \ldots$ удалили все точные квадраты (квадраты целых чисел). Какое число будет находиться на $2600$ месте среди оставшихся?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Дробь $1/5$ записана в виде бесконечной двоичной дроби. Сколько единиц среди первых 2022 цифр после запятой содержится в такой форме записи?
Ответ:
Решение:
Дробь $1/9$ записана в виде бесконечной двоичной дроби. Сколько единиц среди первых 2022 цифр после запятой содержится в такой форме записи?
Ответ:
Решение:
Найдите количество различных значений функции $f(x)=[x]+[2x]+[3x]+[4x]+\left[\dfrac{5x}{3}\right]$ на отрезке $x\in[0;100]$.
Здесь $[x]$ обозначает целую часть числа $x$ — наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Например, $[1{,}7]=1$, $[-1{,}7]=-2$.
Здесь $[x]$ обозначает целую часть числа $x$ — наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Например, $[1{,}7]=1$, $[-1{,}7]=-2$.
Ответ:
Решение:
Найдите количество различных значений функции $f(x)=[x]+[2x]+[3x]+[4x]+\left[\frac{5x}{3}\right]$ таких, что $f(x)\in[70;280]$.
Здесь $[x]$ обозначает целую часть числа $x$ — наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Например, $[1{,}7]=1$, $[-1{,}7]=-2$.
Здесь $[x]$ обозначает целую часть числа $x$ — наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Например, $[1{,}7]=1$, $[-1{,}7]=-2$.
Ответ:
Решение:
Множество $M$ состоит из всех таких чисел $t$, для каждого из которых числа \[ t+\frac{1}{t}\quad\text{и}\quad t^2-4t \] являются целыми. Найдите сумму квадратов элементов множества $M$.
Ответ:
Решение:
Ваня выписал на доску подряд все целые части от деления каждого из чисел \[ 1^2,2^2,\ldots,2024^2 \] на 2024, пропуская все повторяющиеся значения. Сколько всего чисел он выписал?
Ответ:
Решение:
Найдите все положительные числа $x$ такие, что оба числа $x+\frac{1}{x}$ и $x^2-4x$ являются целыми. В ответ запишите наибольшее из них, вычисленное с точностью до двух знаков после запятой.
Ответ:
Решение:
Сколько существует натуральных чисел $k$, для которых перевод обыкновенной дроби $\dfrac{2k+3}{2k}$ в десятичную приведет к конечной десятичной дроби с $100$ знаками после запятой?
Ответ:
Решение:
При каких натуральных $n$ дробь $\dfrac{2}{n}$ может быть представлена периодической десятичной дробью вида $0{,}1(a_1a_2)$ с периодом, содержащим две различные цифры?
Ответ:
Решение:
Найти первые 100 цифр после запятой в десятичной форме записи числа $\left(7+4\sqrt{3}\right)^{2023}$.
Ответ:
Решение: