Найти наибольшее значение выражения \[ F=\dfrac{(5n-18)\,\text{НОД}(n+9,n+2)}{\text{НОК}(n+9,n+2)} \] на множестве натуральных чисел. При каком $n$ оно достигается?
Ответ:
Решение:
На клетчатой бумаге отмечен прямоугольник размером $m\times n$ клеток, причём числа $m$ и $n$ взаимно просты и $m\lt n$. Диагональ этого прямоугольника не пересекает ровно 116 его клеток. Найдите все возможные значения $m$ и $n$ при данных условиях.
Ответ:
Решение:
Натуральные числа $a$, $b$ и $c$ таковы, что \[ \text{НОК}(a,b)=60\quad\text{и}\quad\text{НОК}(a,c)=270 \] ($\text{НОК}(x,y)$ — наименьшее общее кратное чисел $x$ и $y$.) Найдите $\text{НОК}(b,c)$.
Ответ:
Решение:
Известно, что $4001$ — простое число. Найдите все натуральные $n$, при которых \[ n(n+4001) \] является квадратом натурального числа.
Ответ:
Решение:
Определите какое наименьшее значение может принимать НОК четырёх натуральных чисел, если их сумма равна 2023.
Ответ:
Решение:
Для каждого целого положительного $x$ найти наибольший общий делитель чисел $P_1(x)=x^3+5x^2+4x+15$ и $P_2(x)=x^4+5x^3+15x+3$.
Ответ:
Решение:
Докажите, что в таблице $8\times8$ нельзя расставить натуральные числа от $1$ до $64$ (каждое по одному разу) так, чтобы в ней для любого квадрата $2\times2$ вида \[\begin{array}{|c|c|}\hline a&b\\\hline c&d\\\hline\end{array}\] было выполнено равенство $|ad-bc|=1$.
Ответ:
Решение:
Петя загадал положительную несократимую дробь $x=\dfrac{m}{n}$. За один ход Вася называет положительную несократимую дробь $y$, не превосходящую 1, и Петя в ответ сообщает Васе числитель несократимой дроби, равной сумме $x+y$. Как Васе за два хода гарантированно узнать $x$?
Ответ:
Решение:
Докажите, что при любых натуральных $0\lt k\lt m\lt n$ числа $C_n^k$ и $C_n^m$ не взаимно просты. ($C_n^k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ — число способов выбрать $k$ элементов из $n$ различных элементов без учёта порядка.)
Ответ:
Решение:
Пусть $p$ и $q$ — взаимно простые натуральные числа. Лягушка прыгает по числовой прямой, начиная в точке 0, каждый раз либо на $p$ вправо, либо на $q$ влево. Однажды лягушка вернулась в 0. Докажите, что для любого натурального $d\lt p+q$ найдутся два числа, посещённые лягушкой и отличающиеся на $d$.
Ответ:
Решение:
Назовём натуральное $N\gt 1$ хорошим, если найдутся такие натуральные числа $a_1, \ldots, a_N$, что наибольшие общие делители всевозможных пар из них образуют $\dfrac{N(N-1)}{2}$ последовательных натуральных чисел. Существует ли хорошее натуральное число, большее $10^{100}$?
Ответ:
Решение:
Петя написал в своей тетради многочлен $P(x)$ с целыми коэффициентами и предложил Васе угадать его степень. Вася задал Пете два вопроса: «Чему равно значение многочлена при $x=-3$?» и «Чему равен остаток от деления многочлена на $(x-n)$, где $n$ — его степень?». Получив ответы $1$ и $6$ соответственно, Вася уверенно назвал степень многочлена. Как он это сделал? Какова степень многочлена?
Ответ:
Решение:
Многочлен $P(x)$ с целыми коэффициентами удовлетворяет условию $P(17)=P(23)=2023$. Найти наименьшее возможное при этих условиях значение $P(0)\gt 0$.
Ответ:
Решение:
Известно, что $P(x)$ — многочлен с целыми коэффициентами, имеет целый отрицательный корень и $P(3)=-19$. Найти этот корень.
Ответ:
Решение:
Дан многочлен $F(x)=1+2x+3x^2+4x^3+\ldots+100x^{99}$. Можно ли, переставив коэффициенты в нём, получить многочлен $G(x)=g_0+g_1x+g_2x^2+g_3x^3+\ldots+g_{99}x^{99}$ такой, что для всех натуральных чисел $k\geqslant 2$ разность $F(k)-G(k)$ не кратна $100$?
Ответ:
Решение:
По целому числу $a$ построим последовательность \[ a_1=a,\quad a_2=1+a_1,\quad a_3=1+a_1a_2,\quad a_4=1+a_1a_2a_3,\quad \ldots \] (каждое следующее число на $1$ превосходит произведение всех предыдущих). Докажите, что разности её соседних членов $(a_{n+1}-a_n)$ — квадраты целых чисел.
Ответ:
Решение:
Вова задумал многочлен $Q(x)$ с целыми коэффициентами. Оказалось, что \[ Q(11)=Q(25)=450. \] Какое наименьшее значение может принимать его свободный член $c$, если $|c|\lt 150$?
Ответ:
Решение:
Доказать, что для любого многочлена $P(x)$ с целыми коэффициентами выражение $P(b)-P(a)$ делится на $(b-a)$ при любых целых $a$, $b$, $a\neq b$. Известно, что уравнение $P(x)=8$ имеет целый корень на полуоси $x\geqslant 8$ и $P(4)=17$. Найти этот корень.
Ответ:
Решение:
Многочлен $P(x)$ с целыми коэффициентами при $x=2$ принимает значение $3$, а при $x=4$ — его значение равно $1$. Известно, что уравнение $P(n)=n-1$ имеет целое решение. Найти это решение.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение: