В треугольнике $ABC$ угол $B=60^\circ$, а точки $D$, $E$ и $F$ лежат на сторонах $CA$, $AB$ и $BC$ соответственно, причём $BE=ED=DF=FB=10$. Отрезки $AF$ и $CE$ пересекаются в точке $X$. Найдите длину $XA$, если $XF=4$.
Ответ:
Решение:
На сторонах $AD$ и $BC$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ выбраны точки $F$ и $E$ соответственно таким образом, что $AF/FD=BE/EC=AB/CD$. Продолжение отрезка $EF$ за точку $F$ пересекает прямую $AB$ в точке $P$, а прямую $CD$ — в точке $Q$. Докажите, что $\angle BPE=\angle CQE$.
Ответ:
Решение:
Внутри треугольника $ABC$ взята такая точка $O$, что $\angle ABO=\angle CAO$, $\angle BAO=\angle BCO$, $\angle BOC=90^\circ$. Найдите отношение $AC:OC$.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC$ равно $1$, угол $ABC$ равен $2\operatorname{arctg}\frac{1}{2}$. Точка $D$ лежит на стороне $BC$ так, что площадь треугольника $ABC$ вчетверо больше площади треугольника $ADC$. Найдите расстояние от точки $D$ до прямой $AB$ и радиус окружности, описанной около треугольника $ADC$.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$, у которого высота, проведённая к стороне $BC$, в два раза меньше этой стороны, а высота, проведённая к стороне $AC$, в $32$ раза меньше этой стороны. Найдите синус угла $C$.
Ответ:
Решение:
Серединный перпендикуляр к стороне $AC$ треугольника $ABC$ пересекает сторону $BC$ в точке $P$. Известно, что $AP=1$, $BP:PC=2$, а высота $BH$ треугольника $ABC$ равна $0{,}5$. Найдите наименьшее возможное значение радиуса окружности, описанной около треугольника $ACP$.
Ответ:
Решение:
Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с основанием 6, если синус одного его угла равен косинусу другого.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны соответственно 3 и 1. Биссектриса $BD$ равна $\sqrt2$. Найдите угол $BAC$.
Ответ:
Решение:
Окружности с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ пересекаются внешним образом в точках $A$ и $B$ (то есть точки $O_1$ и $O_2$ лежат по разные стороны от прямой $AB$). Известно, что $\angle AO_1B=\alpha$, $\angle AO_2B=\beta$, $O_1O_2=a$. Найдите радиусы окружностей.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ медиана $BM$ равна $2$, угол $ABM$ равен $\operatorname{arctg}\frac{2}{3}$, угол $CBM$ равен $\operatorname{arctg}\frac{1}{5}$. Найти стороны $AB$, $BC$ и биссектрису $BE$ треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
На продолжении стороны $AC$ треугольника $ABC$ за точку $A$ отмечена точка $T$ такая, что $\angle BAC=2\angle BTC$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если известно, что $AB=AC$, $BT=70$, $AT=37$.
Ответ:
Решение:
Точки $P$ и $Q$ — середины сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ соответственно, а $X$ — точка пересечения перпендикуляра к $AB$, проходящего через точку $A$, с перпендикуляром к $BC$, проходящим через точку $Q$. Найдите длину отрезка $BC$, если известно, что $PX=29$, а угол $BAC$ острый и $\sin\angle BAC=\dfrac18$.
Ответ:
Решение:
На сторонах $AB$ и $AC$ остроугольного треугольника $ABC$ вовне построены два равных прямоугольника $AMNB$ и $APQC$. Найти расстояние между вершинами $N$ и $Q$ прямоугольников, если длины сторон $AB$ и $AC$ равны 3 и 4 соответственно, а угол при вершине $A$ треугольника равен $30^\circ$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведены срединные перпендикуляры к сторонам $AB$ и $AC$, пересекающие прямые $AC$ и $AB$ в точках $N$ и $M$ соответственно. Длина отрезка $NM$ равна длине стороны $BC$ треугольника. Найти угол при вершине $A$ треугольника.
Ответ:
Решение:
В четырёхугольнике $ABCD$ угол $A$ равен $88^\circ$, угол $B$ равен $122^\circ$, $CD=2$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $CKD$, где $K$ — точка пересечения биссектрис углов $C$ и $D$, и сравните этот радиус с 1,04.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $AH$ в два раза короче высоты $BO$. Найдите синус угла между прямыми $AH$ и $BO$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $PVG$ на стороне $VG$ выбрана точка $D$ так, что $PD=PV$. Точка $F$ симметрична точке $D$ относительно прямой $PG$. Найдите $VF$, если синус угла $PGV$ равен $2/5$, а $PV=5\sqrt{3}$.
Ответ:
Решение:
Кратчайшее расстояние от вершины $B$ треугольника $ABC$ до точек противолежащей стороны равно 12. Найдите стороны $AB$ и $BC$ этого треугольника, если $\sin\angle C=\sqrt{3}/2$ и $AC=5$.
Ответ:
Решение:
Найдите площадь треугольника $ABC$, в котором $AB=4$, $AC=5$ и $\cos(\angle B-\angle C)=\frac{11}{16}$.
Ответ:
Решение:
Наибольшая сторона треугольника на 10 больше второй по величине стороны, а один из углов треугольника в 2 раза больше другого. Чему может быть равна биссектриса третьего угла, если этот угол в 3 раза больше, чем один из двух других углов?
Ответ:
Решение: