Для представления целых чисел или десятичных дробей часто используется специальный вид диаграмм «стебель-листья». На таких диаграммах удобно изображать возраст людей. Предположим, что в изучаемой группе 5 человек, которым 19, 34, 37, 42 и 48 лет. Для этой группы диаграмма будет выглядеть, как показано на рис. 2. Левый столбец — «стебель», а вправо от него идут «листья».
Рис. 2
Изучая некоторую группу пациентов, 1 декабря врач составил диаграмму их возрастов (рис. 3 а). На рис. 3 б) показана новая диаграмма их возрастов, которая была составлена также 1 декабря по прошествии нескольких лет. За эти годы состав группы остался прежним — в ней остались все, кто был, и никто новый в эту группу не вошёл. Но цифр на новой диаграмме не видно — вместо них звёздочки. Определите, сколько лет прошло, и восстановите диаграмму.
Английское название — Stem-and-Leaf plot.
Рис. 2
Изучая некоторую группу пациентов, 1 декабря врач составил диаграмму их возрастов (рис. 3 а). На рис. 3 б) показана новая диаграмма их возрастов, которая была составлена также 1 декабря по прошествии нескольких лет. За эти годы состав группы остался прежним — в ней остались все, кто был, и никто новый в эту группу не вошёл. Но цифр на новой диаграмме не видно — вместо них звёздочки. Определите, сколько лет прошло, и восстановите диаграмму.
Английское название — Stem-and-Leaf plot.
Ответ:
Решение:
Стоимость проезда по участку платной автодороги зависит от класса автомобиля: легковые автомобили относятся к первому классу, для них стоимость проезда 200 рублей, а лёгкие грузовые и микроавтобусы — ко второму, для них стоимость 300 рублей.
При въезде на пункт оплаты установлена автоматическая система, измеряющая высоту автомобиля. Если высота машины меньше некоторого порогового значения $h$, то система автоматически относит его к классу 1, а если выше $h$, то к классу 2. При этом возможны ошибки. Например, низенький микроавтобус система может отнести к классу 1, и его водитель будет доволен. Легковой УАЗ может быть ошибочно отнесён к классу 2, и его водитель будет этому не рад. Он может подать заявку, и компания-оператор будет должна вернуть ему 100 рублей.
Руководство компании поставило перед инженерами задачу: настроить систему так, чтобы количество ошибок было наименьшим.
Несколько недель инженеры собирали данные о высоте автомобилей, проходящих через пункт оплаты. Отдельно — о машинах класса 1 и отдельно — о машинах класса 2 (см. рисунок). На оси абсцисс отложена высота автомобиля (в см), на оси ординат — среднее количество машин такой высоты, проходящих через пункт за сутки. Для наглядности точки соединены плавной линией.
Графики — количество машин класса 1 и класса 2 в сутки
Собрав всю эту информацию и начертив графики, инженеры стали думать, что делать дальше: как определить пороговое значение $h$, чтобы вероятность ошибки оказалась наименьшей возможной? Решите эту задачу для них.
При въезде на пункт оплаты установлена автоматическая система, измеряющая высоту автомобиля. Если высота машины меньше некоторого порогового значения $h$, то система автоматически относит его к классу 1, а если выше $h$, то к классу 2. При этом возможны ошибки. Например, низенький микроавтобус система может отнести к классу 1, и его водитель будет доволен. Легковой УАЗ может быть ошибочно отнесён к классу 2, и его водитель будет этому не рад. Он может подать заявку, и компания-оператор будет должна вернуть ему 100 рублей.
Руководство компании поставило перед инженерами задачу: настроить систему так, чтобы количество ошибок было наименьшим.
Несколько недель инженеры собирали данные о высоте автомобилей, проходящих через пункт оплаты. Отдельно — о машинах класса 1 и отдельно — о машинах класса 2 (см. рисунок). На оси абсцисс отложена высота автомобиля (в см), на оси ординат — среднее количество машин такой высоты, проходящих через пункт за сутки. Для наглядности точки соединены плавной линией.
Графики — количество машин класса 1 и класса 2 в сутки
Собрав всю эту информацию и начертив графики, инженеры стали думать, что делать дальше: как определить пороговое значение $h$, чтобы вероятность ошибки оказалась наименьшей возможной? Решите эту задачу для них.
Ответ:
Решение:
Географическое общество Анчурии (GSA) отправило экспедицию, цель которой — измерение протяжённости русла великой анчурийской реки Рио-Коралио. Оказалось, что протяжённость русла от истока до устья равна 402 км плюс-минус 500 м, при этом вероятность ошибки равна 0,04, причём ошибки в большую или меньшую сторону равновероятны.
Независимо от GSA агентство AWRA («Анчурийские водные ресурсы») провело своё исследование на эту тему. Результат: 403 км плюс-минус 500 м. Вероятность ошибки также равна 0,04, и, опять же, ошибки в большую и меньшую сторону равновероятны.
Когда результаты опросов сравнили и убедились, что ошибок в методах и в измерениях нет, президент GSA и директор AWRA совместно обратились к Рассеянному Учёному, который является признанным экспертом в области статистики, чтобы он объяснил расхождение. Учёный обрадовался и сказал: «Теперь я точно знаю протяженность Рио-Коралио с малой вероятностью ошибки». Как он мог рассуждать? Найдите оценку и вероятность ошибки.
Независимо от GSA агентство AWRA («Анчурийские водные ресурсы») провело своё исследование на эту тему. Результат: 403 км плюс-минус 500 м. Вероятность ошибки также равна 0,04, и, опять же, ошибки в большую и меньшую сторону равновероятны.
Когда результаты опросов сравнили и убедились, что ошибок в методах и в измерениях нет, президент GSA и директор AWRA совместно обратились к Рассеянному Учёному, который является признанным экспертом в области статистики, чтобы он объяснил расхождение. Учёный обрадовался и сказал: «Теперь я точно знаю протяженность Рио-Коралио с малой вероятностью ошибки». Как он мог рассуждать? Найдите оценку и вероятность ошибки.
Ответ:
Решение:
Числовой набор удовлетворяет следующим четырём условиям:
б) Какое наименьшее количество чисел может быть в таком наборе?
- количество чисел в наборе нечётное;
- наименьшее значение равно 1;
- медиана набора равна 10;
- среднее арифметическое чисел набора равно 6.
б) Какое наименьшее количество чисел может быть в таком наборе?
Ответ:
Решение:
Числовой набор удовлетворяет следующим четырём условиям:
б) Какое наименьшее количество чисел может быть в таком наборе?
- количество чисел в наборе нечётное;
- наибольшее значение равно 13;
- медиана набора равна 2;
- среднее арифметическое чисел набора равно 7.
б) Какое наименьшее количество чисел может быть в таком наборе?
Ответ:
Решение:
Средним арифметическим числового набора называется отношение суммы всех чисел набора к количеству чисел в наборе.
Даны два числовых набора, у первого среднее арифметическое равно 2, а у второго среднее арифметическое равно 5. Докажите, что если объединить эти наборы, то среднее арифметическое получившегося набора будет больше 2, но меньше 5.
Даны два числовых набора, у первого среднее арифметическое равно 2, а у второго среднее арифметическое равно 5. Докажите, что если объединить эти наборы, то среднее арифметическое получившегося набора будет больше 2, но меньше 5.
Ответ:
Решение:
В двух классах (всего 40 школьников) проводилась проверочная работа. В работе было 10 заданий. Каждое верно решённое задание даёт школьнику 1 балл. Диаграмма показывает распределение баллов: столбики показывают, сколько школьников получили 0 баллов, 1 балл и так далее.
Какие выводы можно сделать? (Отметьте безусловно верные утверждения.) 1. Меньше половины школьников получили менее 6 баллов. 2. С задачей № 8 справились ровно четыре человека. 3. По крайней мере половина участников получили не менее 6 баллов. 4. Найдутся два школьника, которые решили все задачи. 5. Найдутся по крайней мере два школьника, решившие задачу № 2.
Какие выводы можно сделать? (Отметьте безусловно верные утверждения.) 1. Меньше половины школьников получили менее 6 баллов. 2. С задачей № 8 справились ровно четыре человека. 3. По крайней мере половина участников получили не менее 6 баллов. 4. Найдутся два школьника, которые решили все задачи. 5. Найдутся по крайней мере два школьника, решившие задачу № 2.
Ответ:
Решение:
Число $m$ называется медианой числового набора, если выполняются два условия. 1. Хотя бы половина чисел в наборе не меньше числа $m$. 2. Хотя бы половина чисел в наборе не больше числа $m$.
Даны два числовых набора, у каждого из которых число 3 — медиана. Докажите, что если объединить эти наборы, то у получившегося набора число 3 тоже будет медианой.
Даны два числовых набора, у каждого из которых число 3 — медиана. Докажите, что если объединить эти наборы, то у получившегося набора число 3 тоже будет медианой.
Ответ:
Решение:
В двух классах (всего 40 школьников) проводилась проверочная работа. В работе было 10 заданий. Каждое верно решённое задание даёт школьнику 1 балл. Распределение баллов представлено на диаграмме: столбики показывают, сколько школьников получили 0 баллов, 1 балл и так далее.
Какие выводы можно сделать? (Отметьте безусловно верные утверждения.) 1. С задачей № 9 справился ровно один человек. 2. Большинство школьников получили от 4 до 6 баллов включительно. 3. Не найдётся никого, кто правильно решил все задачи. 4. Найдутся по крайней мере два человека, которые решили задачу № 9. 5. По крайней мере половина участников получили не менее 5 баллов.
Какие выводы можно сделать? (Отметьте безусловно верные утверждения.) 1. С задачей № 9 справился ровно один человек. 2. Большинство школьников получили от 4 до 6 баллов включительно. 3. Не найдётся никого, кто правильно решил все задачи. 4. Найдутся по крайней мере два человека, которые решили задачу № 9. 5. По крайней мере половина участников получили не менее 5 баллов.
Ответ:
Решение:
В Солнечной долине 10 посёлков. Однажды статистики долины провели исследование численности жителей в посёлках. Обнаружили следующее.
1. Число жителей в любых двух посёлках долины отличается не более чем на 100 человек.
2. В посёлке Знойное ровно 1000 жителей, что превышает среднюю численность населения посёлков долины на 90 человек.
Сколько жителей в посёлке Радужный, который также расположен в Солнечной долине?
1. Число жителей в любых двух посёлках долины отличается не более чем на 100 человек.
2. В посёлке Знойное ровно 1000 жителей, что превышает среднюю численность населения посёлков долины на 90 человек.
Сколько жителей в посёлке Радужный, который также расположен в Солнечной долине?
Ответ:
Решение:
В классе у Марии Ивановны прошёл ежегодный тест по английскому языку. Оказалось, что в обеих группах А и Б средний балл понизился по сравнению с прошлым годом (см. таблицу).
Мария Ивановна должна писать отчёт, но знает, что директор школы будет недоволен, поскольку считает, что средний балл должен каждый год расти. Баллы менять нельзя, но Мария Ивановна может переводить учеников из одной группы в другую. Может ли она сделать так, что средний балл в каждой группе окажется выше, чем в прошлом году? Если нет — объясните, почему. Если да — покажите, как должна поступить Мария Ивановна.
| № | Группа А | Балл | № | Группа Б | Балл |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Антропов | 35 | 1 | Аладьева | 51 |
| 2 | Белобородов | 62 | 2 | Воронов | 38 |
| 3 | Глядешина | 55 | 3 | Гусев | 34 |
| 4 | Долматов | 57 | 4 | Елина | 43 |
| 5 | Жарова | 35 | 5 | Зорич | 50 |
| 6 | Ильин | 54 | 6 | Касаткина | 38 |
| 7 | Лопатин | 47 | 7 | Моисеев | 52 |
| 8 | Ноготкова | 49 | 8 | Облакова | 38 |
| 9 | Суздальский | 34 | 9 | Рысьев | 35 |
| 10 | Филин | 44 | 10 | Фофанов | 39 |
| Среднее | 47,2 | Среднее | 41,8 | ||
| Прошлый год | 47,5 | Прошлый год | 42,2 |
Ответ:
Решение:
В классе у Марии Ивановны прошёл ежегодный тест по английскому языку. Оказалось, что в обеих группах А и Б средний балл понизился по сравнению с прошлым годом (см. таблицу).
Мария Ивановна должна писать отчет, но знает, что директор школы будет недоволен, поскольку считает, что средний балл должен каждый год расти. Баллы менять нельзя, но Мария Ивановна может переводить учеников из одной группы в другую. Может ли она сделать так, что средний балл в каждой группе окажется выше, чем в прошлом году? Если нет — объясните, почему. Если да — покажите, как должна поступить Мария Ивановна.
| № | Группа А | Балл | № | Группа Б | Балл |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Антонов | 31 | 1 | Аверьянов | 36 |
| 2 | Белоусова | 46 | 2 | Воронова | 49 |
| 3 | Григорьев | 52 | 3 | Данилов | 31 |
| 4 | Дёмин | 51 | 4 | Злыднева | 35 |
| 5 | Исаев | 32 | 5 | Ларионов | 48 |
| 6 | Калинина | 41 | 6 | Мельникова | 32 |
| 7 | Морских | 59 | 7 | Озерова | 35 |
| 8 | Попов | 32 | 8 | Рассудова | 47 |
| 9 | Сидоров | 44 | 9 | Уварова | 35 |
| 10 | Филипповская | 54 | 10 | Яхонтов | 40 |
| Среднее | 44,2 | Среднее | 38,8 | ||
| Прошлый год | 44,4 | Прошлый год | 39,2 |
Ответ:
Решение:
К концу полугодия у Василия Петрова в журнале стояли такие отметки по математике:
4, 1, 2, 5, 2
Перед тем как выставить полугодовую отметку, учитель математики сказал Васе:
— Вася, ты можешь выбрать метод, как вывести твою отметку за полугодие. Предлагаю два варианта. Метод А: среднее арифметическое текущих отметок с округлением до целого. Метод Б: медиана текущих отметок.
Лучший метод для Васи — это такой метод, который даст Васе в полугодии наибольшую отметку.
а) Какой метод для Васи лучший?
б) Потом учитель подумал и добавил:
— Имей в виду, Василий, что если ты сумеешь выбрать лучший для себя метод, то я поставлю тебе в журнал еще две пятерки, а уже потом выведу отметку за полугодие.
Докажите, что в этих условиях метод А не является для Васи лучшим.
4, 1, 2, 5, 2
Перед тем как выставить полугодовую отметку, учитель математики сказал Васе:
— Вася, ты можешь выбрать метод, как вывести твою отметку за полугодие. Предлагаю два варианта. Метод А: среднее арифметическое текущих отметок с округлением до целого. Метод Б: медиана текущих отметок.
Лучший метод для Васи — это такой метод, который даст Васе в полугодии наибольшую отметку.
а) Какой метод для Васи лучший?
б) Потом учитель подумал и добавил:
— Имей в виду, Василий, что если ты сумеешь выбрать лучший для себя метод, то я поставлю тебе в журнал еще две пятерки, а уже потом выведу отметку за полугодие.
Докажите, что в этих условиях метод А не является для Васи лучшим.
Ответ:
Решение:
В числовом наборе 200 чисел. Если выкинуть одно число, то медиана оставшихся чисел станет 43. Если выкинуть другое число, то медиана оставшихся чисел станет 27. Найдите медиану всего набора.
Ответ:
Решение:
В числовом наборе 100 чисел. Если выкинуть одно число, то медиана оставшихся чисел станет 52. Если выкинуть другое число, то медиана оставшихся чисел станет 38. Найдите медиану всего набора.
Ответ:
Решение:
Даны 100 чисел. К каждому из них прибавили 2. Сумма квадратов чисел не изменилась. К каждому полученному числу еще раз прибавили число 2. Как изменилась сумма квадратов теперь?
Ответ:
Решение:
Город считается небольшим, если в нем проживает менее $100\,000$ жителей. Вероятность какого события больше: $A$ = «наугад выбранный горожанин живет в небольшом городе» или $B$ = «наугад выбранный город — небольшой»?
Ответ:
Решение:
Город считается миллионером, если в нем более миллиона жителей. Вероятность какого события больше: $A$ = «наугад выбранный горожанин живет в городе-миллионере» или $B$ = «наугад выбранный город — миллионер»?
Ответ:
Решение:
В понедельник 7 апреля акция Торгового дома «Малони и Ко» стоила 5 анчурийских долларов. Последующие шесть дней акции не падали в цене или даже росли, и к воскресенью 13 апреля цена акции достигла 5 долларов 14 центов. На протяжении всей следующей недели акции не поднимались и даже падали в цене так, что 20 апреля акция снова стоила 5 долларов.
а) Приведите пример, как могли изменяться цены, так что средний курс за весь период с 7 по 20 апреля был выше, чем 5 долларов 9 центов, но ниже, чем 5 долларов 10 центов.
б) Обозреватель А. утверждает, что средний курс акции в период с 7 по 13 апреля был на 10,5 центов ниже, чем средний курс в период с 14 по 20 апреля. Обозреватель Б. говорит, что А. неправ. Так кто же из них прав?
а) Приведите пример, как могли изменяться цены, так что средний курс за весь период с 7 по 20 апреля был выше, чем 5 долларов 9 центов, но ниже, чем 5 долларов 10 центов.
б) Обозреватель А. утверждает, что средний курс акции в период с 7 по 13 апреля был на 10,5 центов ниже, чем средний курс в период с 14 по 20 апреля. Обозреватель Б. говорит, что А. неправ. Так кто же из них прав?
Ответ:
Решение:
В наборе $-5,\ -4,\ -3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$ замените одно число двумя другими целыми числами так, чтобы дисперсия набора и его среднее не изменились.
Ответ:
Решение: