В круге радиуса 5 три разных хорды пересекаются в одной точке, причем две из них делятся этой точкой пополам. Какова при этом наименьшая возможная длина третьей хорды?
Ответ:
Решение:
Хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $X$. $M$ — точка пересечения биссектрисы угла $BXD$ с хордой $BD$. Найдите отрезок $BM$, если $BD=27$, а площади треугольников $CXB$ и $AXD$ относятся как $25:16$.
Ответ:
Решение:
Вершины треугольника делят описанную вокруг него окружность на три дуги. Длины отрезков, соединяющих середины двух из этих дуг с серединами хорд, стягивающих эти дуги, равны $2$ и $9$. Найдите периметр треугольника, если радиус окружности равен $17$.
Ответ:
Решение:
Окружность проходит через вершины $A$ и $B$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle C=90^\circ$), а также через точку $L$ пересечения стороны $BC$ с биссектрисой $AL$. Катет $AC$ точкой пересечения $N$ с окружностью оказался разделён на два отрезка: $AN=4$, $NC=8$. Найдите площадь треугольника $ABC$. При необходимости округлите ответ до двух знаков после запятой.
Ответ:
Решение:
Точка $K$ расположена вне окружности $\Omega$ с центром $O$, точка $M$ — внутри $\Omega$, а точка $P$ — на $\Omega$. Отрезок $KM$ пересекает $\Omega$ в точке $L$, а прямая $KP$ касается окружности. Найдите квадрат радиуса окружности, если известно, что $OM=2$, $LM=5$, $KL=9$, $KP=12$.
Ответ:
Решение:
В равносторонний треугольник $PQR$ вписана окружность. Высота $PH$ пересекает эту окружность в точке $A$, отличной от $H$. Прямая $AQ$ пересекает окружность в точке $B$, отличной от $A$. Найдите радиус окружности, если известно, что $AB=\sqrt{63}$.
Ответ:
Решение:
Трапеция $ABCD$, основание $AD$ которой вдвое больше основания $BC$, вписана в окружность $\omega$. Прямая, проходящая через вершину $B$ параллельно $CD$, пересекает вторично окружность $\omega$ в точке $P$, а сторону $AD$ — в точке $N$. Найдите периметр трапеции $ABCD$, если известно, что $BN=4$, $PN=9$.
Ответ:
Решение:
Хорда $AC$ образует угол $32^\circ$ с диаметром $AD$. Из центра окружности $O$ опущен перпендикуляр $OH$ на хорду $AC$, его продолжение пересекает окружность в точке $B$. Найдите угол между прямыми $BC$ и $AD$.
Ответ:
Решение:
В окружности диаметр $AB$ и хорда $PQ$ пересекаются в точке $C$ под прямым углом. Найдите длины биссектрис треугольника $APQ$, если $PC=5$, $AC:CB=8$.
Ответ:
Решение:
Дан остроугольный треугольник $ABC$. На его описанной окружности отмечена точка $D$, диаметрально противоположная вершине $A$. Точки $X$ и $Y$ на стороне $BC$ таковы, что $BX=XD$ и $CY=YD$ (точка $X$ лежит на отрезке $BY$). Докажите, что $DA$ — биссектриса угла $XDY$.
Ответ:
Решение:
На окружности последовательно в указанном порядке расположены четыре точки $A$, $B$, $C$, $D$ (хорды $AC$ и $BD$ пересекаются). Точки $P$, $S$, $T$ — середины хорд $AB$, $BC$ и $CD$ соответственно, $\angle BPS=20^\circ$. Найти величину $\angle STD$ в градусах.
Ответ:
Решение:
Правильный треугольник вписан в окружность радиуса $R=\dfrac{2}{\sqrt{\sqrt2+1}}$. Точка $P$, отличная от вершин треугольника, расположена на окружности. Найдите сумму расстояний от точки $P$ до двух ближайших вершин вписанного треугольника, если известно, что хорда, соединяющая эту точку с третьей вершиной треугольника, образует угол $\alpha=22{,}5^\circ$ с диаметром, проведённым из третьей вершины.
Ответ:
Решение:
Правильный треугольник вписан в окружность радиуса $R=\dfrac{2\sqrt2}{\sqrt3+1}$. Точка $P$, отличная от вершин треугольника, расположена на окружности. Найдите сумму расстояний от точки $P$ до двух ближайших вершин вписанного треугольника, если известно, что хорда, соединяющая эту точку с третьей вершиной треугольника, образует угол $\alpha=15^\circ$ с диаметром, проведённым из третьей вершины.
Ответ:
Решение:
В параллелограмме $ABCD$ угол $ADC$ равен $\arcsin\dfrac{\sqrt{24}}{5}$. Окружность $\Omega$, проходящая через точки $A$, $C$ и $D$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $N$ и $L$ соответственно, причём $AN=11$, $BL=6$. Найдите площадь параллелограмма $ABCD$ и радиус окружности $\Omega$.
Ответ:
Решение:
Отрезок $BD$ — медиана равнобедренного треугольника $ABC$. Окружность радиуса $4$ проходит через точки $A$, $B$ и $D$ и пересекает сторону $BC$ в точке $E$ такой, что $BE:BC=7:8$. Найдите периметр треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Трапеция $ABCD$ с основаниями $BC=6$ и $AD=7$ вписана в окружность. Продолжение средней линии $MN$ трапеции за точку $M$ пересекает окружность в точке $K$. Найдите квадрат высоты трапеции, если $MK=1$.
Ответ:
Решение:
Даны равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB=BC$) с углом $ACB=41^\circ$ и точка $M$ такая, что отрезки $AM$ и $BC$ пересекаются, а $\angle AMB=15^\circ$, $\angle AMC=49^\circ$. Найдите $\angle MAC$.
Ответ:
Решение:
Равнобокая трапеция $ABCD$ вписана в окружность $\Omega$. Пусть $M$ — середина боковой стороны $AB$, $K$ — точка на окружности такая, что прямая $MK$ параллельна основаниям трапеции $AD$ и $BC$. Найдите радиус окружности $\Omega$, если $BC=13$, $AD=17$, $MK=4$. В ответ запишите квадрат радиуса.
Ответ:
Решение:
Окружность проходит через вершины $K$ и $P$ треугольника $KPM$ и пересекает его стороны $KM$ и $PM$ в точках $F$ и $B$ соответственно, причём $KF:FM=3:1$, $PB:BM=6:5$. Найдите $KP$, если $BF=\sqrt{15}$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ угол при вершине $A$ в два раза больше угла при вершине $C$. Через вершину $B$ проведена касательная $\ell$ к окружности $\Omega$, описанной около треугольника $ABC$. Расстояния от точек $A$ и $C$ до этой касательной равны соответственно $4$ и $9$.
а) Найдите расстояние от точки $A$ до прямой $BC$.
б) Найдите радиус окружности $\Omega$ и длину стороны $AB$.
а) Найдите расстояние от точки $A$ до прямой $BC$.
б) Найдите радиус окружности $\Omega$ и длину стороны $AB$.
Ответ:
Решение: