Пусть $I$ — центр вписанной окружности неравнобедренного треугольника $ABC$. Через $A_1$ обозначим середину дуги $BC$ описанной окружности треугольника $ABC$, не содержащей точки $A$, а через $A_2$ — середину дуги $BAC$. Перпендикуляр, опущенный из точки $A_1$ на прямую $A_2I$, пересекает прямую $BC$ в точке $A'$. Аналогично определяются точки $B'$ и $C'$.
а) Докажите, что точки $A'$, $B'$ и $C'$ лежат на одной прямой.
б) Докажите, что эта прямая перпендикулярна прямой $OI$, где $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$.
а) Докажите, что точки $A'$, $B'$ и $C'$ лежат на одной прямой.
б) Докажите, что эта прямая перпендикулярна прямой $OI$, где $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Биссектриса угла $ABC$ пересекает описанную окружность $\omega$ треугольника $ABC$ в точках $B$ и $L$. Точка $M$ — середина отрезка $AC$. На дуге $ABC$ окружности $\omega$ выбрана точка $E$ так, что $EM\parallel BL$. Прямые $AB$ и $BC$ пересекают прямую $EL$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что $PE=EQ$.
Ответ:
Решение:
Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность $\omega$. Диагональ $AC$ является диаметром окружности $\omega$. Найдите $\angle BEC$, если $\angle ADB=20^\circ$.
Ответ:
Решение:
На чертеже четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность $\omega$. Прямая, проходящая через точку $D$, параллельно $AB$, пересекает $\omega$ в точке $P$. Известно, что $\angle PDC=12^\circ$, $\angle DPB=56^\circ$. Найдите величину угла $\angle ABC$. Ответ дайте в градусах.
Ответ:
Решение:
В окружности провели диаметр $AB$ и параллельную ему хорду $CD$ так, что расстояние между ними равно половине радиуса этой окружности (см. рисунок). Найдите угол $CAB$.
Ответ:
Решение:
На окружности по часовой стрелке расположены точки $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$, как изображено на рисунке. Известно, что $AE$ — диаметр окружности. Также известно, что $\angle ABF=81^\circ$, $\angle EDG=76^\circ$. Сколько градусов составляет угол $FCG$?
Ответ:
Решение:
Вписанный четырёхугольник $ABCD$ таков, что $\angle ADB=40^\circ$ и $\angle CDB=52^\circ$. Точка $M$ внутри четырёхугольника такова, что $\angle BAM=26^\circ$ и $\angle BCM=20^\circ$. Сколько градусов составляет угол $CBM$?
Ответ:
Решение:
Даны окружность $\omega$ радиуса 6 и точка $C$, лежащая вне её. Из точки $C$ провели касательную, касающуюся $\omega$ в точке $D$, и секущую, пересекающую $\omega$ в точках $A$ и $B$. Оказалось, что $CD=8$ и $AC=4$. Найдите площадь треугольника $BCD$.
Ответ:
Решение:
Две вершины, центр вписанной окружности и точка пересечения высот остроугольного треугольника лежат на одной окружности. Найдите угол при третьей вершине.
Ответ:
Решение:
Квадрат $ABCD$ вписан в окружность $\omega$. На меньшей дуге $CD$ окружности $\omega$ выбрана произвольная точка $M$. Внутри квадрата отмечены такие точки $K$ и $L$, что $KLMD$ — квадрат. Найдите $\angle AKD$.
Ответ:
Решение:
Внутри квадрата $ABCD$ отмечены точки $K$ и $M$ (точка $M$ находится внутри треугольника $ABD$, точка $K$ — внутри $BMC$) так, что треугольники $BAM$ и $DKM$ равны ($AM=KM$, $BM=MD$, $AB=KD$). Найдите $\angle KCM$, если $\angle AMB=100^\circ$.
Ответ:
Решение:
На полуокружности с диаметром $AD$ отмечены точки $B$ и $C$. Точка $M$ — середина отрезка $BC$. Точка $N$ такова, что $M$ — середина отрезка $AN$. Докажите, что прямые $BC$ и $DN$ перпендикулярны.
Ответ:
Решение:
На стороне $AD$ квадрата $ABCD$ отметили точку $K$, а на продолжении луча $AB$ за точку $B$ — точку $L$. Известно, что $\angle LKC=45^\circ$, $AK=1$, $KD=2$. Найдите $LB$.
Ответ:
Решение:
На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $M$ и $N$ ($M$ лежит на отрезке $AN$). Известно, что $AB=AN$, $BC=MC$. Описанные окружности треугольников $ABM$ и $CBN$ пересекаются в точках $B$ и $K$. Сколько градусов составляет угол $AKC$, если $\angle ABC=68^\circ$?
Ответ:
Решение:
Четырёхугольник $ABCD$ таков, что $\angle ABD=\angle ACD=90^\circ$, $\angle CAD=42^\circ$. Лучи $CB$ и $DA$ пересекаются в точке $K$. Известно, что $BK=3$, $AD=6$.
1. Сколько градусов составляет угол $BKA$?
2. Сколько градусов составляет угол $BAC$?
1. Сколько градусов составляет угол $BKA$?
2. Сколько градусов составляет угол $BAC$?
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $A$ проведена высота $AH$. Окружность, проходящая через точки $A$ и $H$, пересекает катеты $AB$ и $AC$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Найдите длину отрезка $AC$, если известно, что $AX=5$, $AY=6$, $AB=9$.
Ответ:
Решение:
На окружности по часовой стрелке расположены точки $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, как изображено на рисунке. Хорды $AD$ и $CE$ пересекаются в точке $X$ под прямым углом, хорды $AD$ и $BF$ пересекаются в точке $Y$. Известно, что $CX=12$, $XE=27$, $XY=15$, $BY=9$, $YF=11$.
1. Найдите длину отрезка $AD$.
2. Найдите радиус окружности.
1. Найдите длину отрезка $AD$.
2. Найдите радиус окружности.
Ответ:
Решение:
Выпуклый пятиугольник $ABCDE$ таков, что $\angle ABC=128^\circ$, $\angle CDE=90^\circ$, $\angle AED=104^\circ$, $AB=BC$, $AE=ED$. Сколько градусов составляет угол $ADB$?
Ответ:
Решение:
Стороны $AD$ и $DC$ вписанного четырёхугольника $ABCD$ равны. На стороне $BC$ отмечена точка $X$ так, что $AB=BX$. Известно, что $\angle B=34^\circ$, $\angle XDC=52^\circ$.
1. Сколько градусов составляет угол $AXC$?
2. Сколько градусов составляет угол $ACB$?
1. Сколько градусов составляет угол $AXC$?
2. Сколько градусов составляет угол $ACB$?
Ответ:
Решение:
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность $\Omega$. Точка $M$ — середина дуги $AD$ окружности $\Omega$, не содержащей точек $B$ и $C$. Отрезки $BM$ и $CM$ пересекают отрезок $AD$ в точках $P$ и $Q$ соответственно.
Известно, что $AP:PQ:QD=1:3:2$. Вычислите значение выражения: \[\frac{AC\cdot BD}{AB\cdot CD}.\]
Известно, что $AP:PQ:QD=1:3:2$. Вычислите значение выражения: \[\frac{AC\cdot BD}{AB\cdot CD}.\]
Ответ:
Решение: