Есть $7$ красных, $6$ белых, $8$ желтых и $5$ черных шаров, все шары пронумерованы различными числами. Сколькими способами можно выбрать $4$ шара, так, чтобы не все были одного цвета и не все разных цветов? Способы, отличающиеся только порядком шаров, считаем одинаковыми.
Ответ:
Решение:
Школьный тренер решил наградить $12$ школьников, которые пробежали дистанцию за лучшее время. Каждого из них надо наградить «золотой», «серебряной» или «бронзовой» медалью. Надо использовать все три типа медалей, причём того, кто пришел к финишу раньше, нельзя награждать менее ценной медалью, чем того, кто пришел позже.
Сколькими способами тренер может распределить медали (время у всех бегунов разное)?
Сколькими способами тренер может распределить медали (время у всех бегунов разное)?
Ответ:
Решение:
У Феоктиста Аристарховича есть $14$ китайских ваз династии Цин, причём никакие две не были сделаны в один год. Вазы надо распределить по трём полкам, причём на каждую полку надо поставить хотя бы одну вазу и нельзя более древнюю вазу ставить ниже, чем менее древнюю. Найдите количество таких способов расстановки, если порядок ваз на одной полке не учитывается.
Ответ:
Решение:
Тринадцать миллионеров приехали на экономический форум и поселились в отеле «Super Luxury+». В отеле есть номера трёх различных типов: 6-звёздочные, 7-звёздочные, и 8-звёздочные. Надо расселить миллионеров, причём так, чтобы использовать все три типа номеров (т. е. хотя бы одного человека поселить в 6-звёздочный номер, хотя бы одного — в 7-звёздочный и хотя бы одного — в 8-звёздочный). При этом нельзя более богатого миллионера селить в номер с меньшим количеством звёздочек, чем у менее богатого.
Сколькими способами их можно расселить (состояния у всех миллионеров попарно разные)?
Сколькими способами их можно расселить (состояния у всех миллионеров попарно разные)?
Ответ:
Решение:
Болельщики должны выбрать 6 лучших хоккеистов чемпионата: одного вратаря, двух защитников и трех нападающих. Среди претендентов: 3 вратаря, 5 защитников, 6 нападающих и 3 «универсала». «Универсал» — игрок, хороший в разных ролях, который поэтому может быть выбран как в качестве защитника, так в качестве нападающего (но не вратаря). Сколько существует способов выбрать эту шестерку? Требуется получить числовое значение.
Ответ:
Решение:
Рассматривают все непустые подмножества множества $\{1;2;\ldots;150\}$. Для каждого из них среднее арифметическое всех чисел этого подмножества. Найдите среднее арифметическое всех этих средних арифметических.
Ответ:
Решение:
Вася написал на доске выражение $31+32+33+\ldots+100$, после чего стёр из него несколько слагаемых (при необходимости вместе с идущими перед ними знаками). Значение получившегося после вычёркивания чисел выражения оказалось равно $4489$. Сколькими способами Вася мог стереть числа с доски?
Ответ:
Решение:
Есть $300$ карточек с числами от $1$ до $300$ (на каждой карточке написано ровно одно число, числа на карточках попарно различны). Сколькими способами можно выбрать три карточки, чтобы сумма чисел на них была кратна $3$?
Ответ:
Решение:
Сколько существует способов выбрать из натуральных чисел от 1 до 302 три различных числа так, чтобы их сумма делилась на 3?
Ответ:
Решение:
Сколькими способами из натуральных чисел от $1$ до $100$ можно выбрать три числа так, чтобы одно из них равнялось среднему арифметическому двух оставшихся?
Ответ:
Решение:
На доске написаны подряд идущие натуральные числа от $1$ до $301$ (каждое из них ровно один раз). Сколькими способами можно стереть три из написанных чисел так, чтобы остаток от деления суммы всех чисел на доске на $3$ после этого не изменился?
Ответ:
Решение:
В кондитерской продаётся 8 видов пирожных, 8 видов конфет, 8 видов булочек и 8 видов печенья. Сколькими способами можно купить 6 различных десертов в этой кондитерской так, чтобы среди них обязательно было хотя бы по одному пирожному, конфете, булочке и печенью?
Ответ:
Решение:
У Васи есть карточки с числами $2000, 2001, \ldots, 2051, 2052$ (на каждой карточке записано ровно одно число; есть ровно одна карточка с каждым из указанных чисел). Сколькими способами он может выбрать $4$ карточки так, чтобы сумма чисел на выбранных делилась на $3$?
Ответ:
Решение:
Есть 306 различных карточек с числами $3, 19, 3^2, 19^2, \ldots, 3^{153}, 19^{153}$ (на каждой карточке написано ровно одно число, каждое число встречается ровно один раз). Сколькими способами можно выбрать 2 карточки так, чтобы произведение чисел на выбранных карточках было квадратом целого числа?
Ответ:
Решение:
На столе лежат 100 различных карточек с числами $3, 6, 9, \ldots, 297, 300$ (на каждой карточке ровно одно число, каждое число встречается ровно один раз). Сколькими способами можно выбрать 2 карточки так, чтобы сумма чисел на выбранных карточках делилась на 5?
Ответ:
Решение:
На столе лежат 130 различных карточек с числами $502, 504, 506, \ldots, 758, 760$ (на каждой карточке написано ровно одно число, каждое число встречается ровно один раз). Сколькими способами можно выбрать 3 карточки так, чтобы сумма чисел на выбранных карточках делилась на 3?
Ответ:
Решение:
Есть 200 различных карточек с числами $2, 3, 2^2, 3^2, \ldots, 2^{100}, 3^{100}$ (на каждой карточке написано ровно одно число, каждое число встречается ровно один раз). Сколькими способами можно выбрать 2 карточки так, чтобы произведение чисел на выбранных карточках было кубом целого числа?
Ответ:
Решение:
На столе лежат 140 различных карточек с числами $3, 6, 9, \ldots, 417, 420$ (на каждой карточке написано ровно одно число, каждое число встречается ровно один раз). Сколькими способами можно выбрать 2 карточки так, чтобы сумма чисел на выбранных карточках делилась на 7?
Ответ:
Решение:
Даны 6000 карточек, на которых написаны натуральные числа от 1 до 6000 (на каждой карточке написано ровно одно число, притом числа не повторяются). Требуется выбрать две карточки, для которых сумма написанных на них чисел делится на 100. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ:
Решение:
Даны 2117 карточек, на которых написаны натуральные числа от 1 до 2117 (на каждой карточке написано ровно одно число, притом числа не повторяются). Требуется выбрать две карточки, для которых сумма написанных на них чисел делится на 100. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ:
Решение: