Найдите все значения параметра $a$, при которых система \[ \begin{cases} \left(a|\operatorname{tg}^3y|+a|\operatorname{ctg}^3x|-8\right)\left(\operatorname{ctg}^6x+\operatorname{tg}^6y-3a^2\right)=0,\\ \sqrt{(\operatorname{ctg}^6x)(\operatorname{tg}^6y)}=a \end{cases} \] имеет не более двенадцати различных решений при $x\in(0,\pi)$ и $y\in(-\pi/2,\pi/2)$.
Ответ:
Решение:
Укажите наибольшее значение параметра $p$, при котором уравнение имеет хотя бы одно решение \[ 2\cos\left(2\pi-\frac{\pi x^2}{6}\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}\sqrt{9-x^2}\right)-3=p-2\sin\left(-\frac{\pi x^2}{6}\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}\sqrt{9-x^2}\right). \]
Ответ:
Решение:
Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение \[\dfrac12(\cos x)^{\frac23}+(\sin x)^{\frac23}=a\] имеет единственное решение на отрезке $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$.
Ответ:
Решение:
При каких $a$ уравнение \[ \arcsin(\cos x)=\cos\bigl(\arcsin(x-a)\bigr) \] имеет единственное решение?
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $a$, при которых расстояние между любыми соседними корнями уравнения \[3\operatorname{tg}a\cdot\cos2x+3\sqrt2\cos3a\cdot\cos x+3\operatorname{tg}a-\operatorname{ctg}a=0\] меньше либо равно $\pi/2$.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых среди корней уравнения \[ 2x^2-16x+35=a|x-3| \] будет ровно три положительных. В ответе укажите произведение наименьшего целого значения параметра и количества изолированных точек в полученном множестве значений параметра.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение\[16^{2x}+5\cdot 16^x=a\cdot 16^x+6\]имеет хотя бы один корень на отрезке $\left[\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{2}\right]$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ уравнение \[ \left(x+\sqrt{x^2}\right)(x-3)+2|x+2|-a=1 \] имеет ровно три различных корня?
Ответ:
Решение:
Найти все значения параметра $a$, при которых система неравенств \[\begin{cases}x^2+2x-a\leqslant 0,\\ x^2-4x+6a\leqslant 0\end{cases}\] имеет единственное решение.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение \[ a+\frac{x^2}{a}=\max\left(2+\frac{x}{a};\,1-\frac{2x}{a}\right) \] имеет нечётное количество решений?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых система неравенств \[ \begin{cases} (x+2)^2+(a-3)^2\leqslant 9,\\ 6-a\geqslant (x+2)^2,\\ a+x\leqslant 2 \end{cases} \] имеет хотя бы одно решение, и указать решения системы для каждого значения $a$.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при которых система \[ \begin{cases} \left(\dfrac{|x-1|}{x-1}+3a\right)^2=24-4x^2-4x,\\ 16x^2-27a^2+6ax+22x+12a+7\leqslant 0 \end{cases} \] имеет решения. Укажите эти решения при найденных значениях параметра $a$.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при которых неравенство $\log_{\sqrt{a/10}}\left(\dfrac{a+8x-x^2}{20}\right)\geqslant2$ имеет хотя бы одно решение $x\geqslant2$, и каждое такое решение является также решением уравнения $|a+2x-16|+|a-2x+9|=|2a-7|$.
Ответ:
Решение:
Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение \[(a+3-|x+2|)\left(a+x^2+4x\right)=0\] имеет
- ровно три корня;
- ровно два корня.
Ответ:
Решение:
При каких значениях $a$ существует единственное решение системы \[ \begin{cases} x^2+y^2=4,\\ (x-3)^2+(y+4)^2=a\,? \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при которых система уравнений \[ \begin{cases} |x-1|+|x+1|-2y=0,\\ x^2+y^2-2ay+2a=1 \end{cases} \] имеет ровно три различных решения.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $b$, при которых система уравнений \[ \begin{cases} y=|b-x^2|,\\ y=a(x-b) \end{cases} \] имеет решение при любом значении параметра $a$.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система неравенств \[ \begin{cases} x^2+y^2-a^2\leqslant 6x-4y-13,\\ x^2+y^2-4a^2\leqslant 8y-10x+4a-40 \end{cases} \] имеет ровно одно решение.
Ответ:
Решение: