Ответ:
Решение:
Решите неравенство \[ \left|g\left(2\sqrt{2{,}5-g(x)}\right)-2\right|\geqslant1, \] где \[ g(x)=\frac{3}{|x-2|+1}. \] В ответ запишите сумму решений этого неравенства. Если решений бесконечно много или они отсутствуют, то в ответ запишите 0.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Решите неравенство: \[ \left|x^3+5x^2-3x+8\right|\geqslant\left|x^2-6x+8\right|+\left|x^3+4x^2+3x\right|. \]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Решите систему\[\begin{cases}\left|x^4-625x^2\right|\neq x^4-625x^2,\\ \left|6x^2-257x+251\right|+6x^2-257x+251=0.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Решите неравенство \[ \left(\dfrac{(x-5)^2+4}{|x-5|}-4\right)\left(|x-4|+|x-6|-2\right)\leqslant0. \]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Решите неравенство \[ \dfrac{\left(|x+1|-|x-1|\right)\left(x^3-7x^2+36\right)}{x^8+2x^6-6x^4+2x^2+1}\geqslant 0. \]
Ответ:
Решение:
Докажите, что для любых различных натуральных чисел $m$ и $n$ справедливо неравенство \[ \left|\sqrt[n]{m}-\sqrt[m]{n}\right|\gt \dfrac{1}{mn}. \]
Ответ:
Решение:
Про положительные числа $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ известно, что \[a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=ab+ac+ad+ae+bc+bd+be+cd+ce+de.\] Докажите, что среди этих чисел найдутся такие три, что не существует треугольника с такими длинами сторон.
Ответ:
Решение:
Докажите, что если числа $x$, $y$, $z$ при некоторых значениях $p$ и $q$ являются решениями системы \[\begin{cases} y=x^n+px+q,\\ z=y^n+py+q,\\ x=z^n+pz+q,\end{cases}\] то выполнено неравенство $x^2y+y^2z+z^2x\geqslant x^2z+y^2x+z^2y$, где а) $n=2$; б) $n=2010$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Некоторые неотрицательные числа $a$, $b$, $c$ удовлетворяют равенству $a+b+c=2\sqrt{abc}$. Докажите, что $bc\geqslant b+c$.
Ответ:
Решение:
Сумма трёх положительных чисел равна их произведению. Докажите, что хотя бы два из них больше единицы.
Ответ:
Решение:
У каждого жителя города Тьмутаракань есть свои тараканы, не у всех поровну. Два таракана являются товарищами, если у них общий хозяин (в частности, каждый таракан сам себе товарищ). Что больше: среднее количество тараканов, которыми владеет житель города, или среднее количество товарищей у таракана?
Ответ:
Решение: