На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ расположены точки $M$ и $N$ так, что $AM=CN=\sqrt{3}$. Точка $P$ — середина отрезка $MN$, точка $Q$ — середина стороны $AC$. Угол при вершине $B$ треугольника $ABC$ равен $60^\circ$. Найти длину отрезка $PQ$.
Ответ:
Решение:
На стене висят двое одинаковых часов, длина минутных стрелок которых равна $\sqrt{2}$, а центры крепления их минутных стрелок удалены друг от друга на расстояние $d=5$. Известно, что одни часы отстают на 15 мин, а другие идут точно. Найти наибольшее и наименьшее расстояние между концами минутных стрелок, наблюдаемое в течение одного часа.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно. Найдите длину стороны $AC$, если известно, что сумма векторов $3\cdot\overrightarrow{AA_1}+4\cdot\overrightarrow{BB_1}+5\cdot\overrightarrow{CC_1}$ равна вектору с координатами $(2,1)$.
Ответ:
Решение:
Дан выпуклый пятиугольник $ABCDE$. Точки $M$, $N$, $P$ и $Q$ — середины сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DE$ соответственно, точки $H$ и $K$ — середины $MP$ и $NQ$ соответственно. Найдите длину отрезка $HK$, если $AE=7$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ с отношением сторон $AB:AC=5:4$ биссектриса угла $BAC$ пересекает сторону $BC$ в точке $L$. Найдите длину отрезка $AL$, если длина вектора $4\cdot\overrightarrow{AB}+5\cdot\overrightarrow{AC}$ равна $2016$.
Ответ:
Решение:
$A_1A_2\ldots A_{2015}$ — правильный 2015-угольник. $O$ — его центр. Найдите сумму векторов \[ \overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OA_2}+\ldots+\overrightarrow{OA_{2015}}. \] Ответ обоснуйте.
Ответ:
Решение:
Пусть $L$ — точка пересечения диагоналей $CE$ и $DF$ правильного шестиугольника $ABCDEF$ со стороной $3$. Точка $K$ такова, что $\overrightarrow{LK}=3\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$. Определите, лежит ли точка $K$ внутри, на границе или вне $ABCDEF$, а также найдите длину отрезка $KC$.
Ответ:
Решение:
Векторы $\vec a_1,\vec a_2,\vec a_3,\vec a_4$, расположенные в одной плоскости с вектором $\vec b$, имеют равную длину, отличную от длины вектора $\vec b$. Известно, что $\vec a_2+\vec b-2\vec a_1=8\vec a_4+\vec b-9\vec a_3=\vec 0$, $|\vec a_3-\vec b|=8$. Найдите $|\vec a_1-\vec b|$.
Ответ:
Решение:
На окружности с равными интервалами расположены 5 точек $A$, $B$, $C$, $D$ и $E$. Даны два вектора $\overrightarrow{DA}=\vec a$, $\overrightarrow{DB}=\vec b$. Выразите вектор $\overrightarrow{EC}$ через $\vec a$ и $\vec b$.
Ответ:
Решение:
Нано-лягушка, перемещаясь по плоскости, может делать два вида действий: прыгать в направлении взгляда ровно на 1 метр и изменять направление взгляда на угол, кратный 45 градусам.
а) Докажите, что таким образом нано-лягушка может приблизиться к любой точке плоскости на расстояние, не превосходящее 1 нанометра.
б) Может ли нано-лягушка, перемещаясь таким образом, удалиться от точки, в которой она первоначально находилась, ровно на $2{,}5$ метра?
а) Докажите, что таким образом нано-лягушка может приблизиться к любой точке плоскости на расстояние, не превосходящее 1 нанометра.
б) Может ли нано-лягушка, перемещаясь таким образом, удалиться от точки, в которой она первоначально находилась, ровно на $2{,}5$ метра?
Ответ:
Решение:
Отметьте на одной прямой четыре точки $A$, $B$, $C$, $D$ так, чтобы расстояние между точками $A$ и $B$ было равно 10 см, между $A$ и $C$ — 3 см, между $B$ и $D$ — 5 см, а между $D$ и $C$ — 8 см.
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости есть точки, координаты $(x,y)$ которых удовлетворяют уравнению $y(x+1)=x^2-1$. Например, одна из них — точка с координатами $(1,0)$. Изобразите все точки, координаты $(x,y)$ которых удовлетворяют этому уравнению.
Ответ:
Решение:
Постройте график уравнения \[ x^2-y^4=\sqrt{18x-x^2-81}\,, \] то есть изобразите на координатной плоскости все точки, координаты $(x,y)$ которых удовлетворяют этому уравнению.
Ответ:
Решение:
На плоскости дан квадрат $ABCD$ со стороной 1 и точка $X$ (см. рисунок). Известно, что $XA=\sqrt{5}$, $XC=\sqrt{7}$. Чему равно $XB$?
Ответ:
Решение:
Точка $O$ — центр квадрата $ABCD$. Найдите какие-нибудь семь попарно неравных векторов с концами и началами в точках $A$, $B$, $C$, $D$, $O$, сумма которых равна нулевому вектору. Объясните свой ответ.
Ответ:
Решение:
На плоскости отметили точки $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ так, что треугольники $ABC$ и $ADE$ равны: $AB=AD$, $AC=AE$, $BC=DE$. Затем с чертежа стёрли точку $E$ и подписи точек $B$, $C$ и $D$.
Пусть точка $E$ имела координаты $(x;y)$.
1. Укажите любое возможное значение величины $xy$.
2. Укажите все возможные значения величины $xy$.
Пусть точка $E$ имела координаты $(x;y)$.
1. Укажите любое возможное значение величины $xy$.
2. Укажите все возможные значения величины $xy$.
Ответ:
Решение:
Для каждой пары различных натуральных чисел $a$ и $b$, не больших 20, Петя нарисовал на доске прямую $y=ax+b$ (то есть он нарисовал прямые \[\begin{gathered} y=x+2,\quad \ldots,\quad y=x+20,\\ y=2x+1,\quad y=2x+3,\quad \ldots,\quad y=2x+20,\\ y=3x+1,\quad y=3x+2,\quad y=3x+4,\quad \ldots,\quad y=3x+20,\\ \ldots,\\ y=20x+1,\quad \ldots,\quad y=20x+19). \end{gathered}\] Вася нарисовал на той же доске окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Сколько Петиных прямых пересекает Васину окружность?
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости проведена прямая $ax+by+c=0$, где $a$, $b$, $c$ — некоторые положительные числа. Известно, что эта прямая касается окружности $x^2+y^2=1$. Докажите, что если взять три отрезка с длинами $a$, $b$, $c$, то из них можно сложить прямоугольный треугольник.
Ответ:
Решение:
Прямые $y=ax+b$, $y=bx+c$, $y=cx+d$, $y=dx+a$ ограничивают квадрат. Чему может равняться площадь этого квадрата (укажите все возможности)?
Ответ:
Решение: