Велосипедист и мотоциклист едут с постоянными скоростями по имеющей форму окружности кольцевой трассе. Если они едут навстречу друг другу, то регулярно встречаются, причём расстояние по прямой между точками последовательных (по времени) встреч равно $4022$ м. Если они едут в одном направлении, то мотоциклист регулярно (хотя и реже) обгоняет велосипедиста, причём расстояние по прямой между точками последовательных (по времени) обгонов также равно $4022$ м. Если велосипедист стоит и отдыхает, то мотоциклист проезжает мимо него каждые $32$ минуты. Если же, наоборот, отдыхает мотоциклист, то велосипедист проезжает мимо него реже, чем каждые $55$ минут, но чаще, чем каждые $64$ минуты. Найдите радиус окружности, по которой проходит трасса.
Ответ:
Решение:
Автомобили Нива и Тойота едут по кольцевой трассе испытательного полигона, четверть которой проходит по грунтовой дороге, а оставшаяся часть — по асфальтовой. Скорость Нивы на грунтовой дороге равна 80 км/ч, а на асфальтовой — 90 км/ч. Скорость Тойоты на грунтовой дороге равна 40 км/ч, а на асфальтовой — 120 км/ч. Автомобили одновременно стартуют в начале грунтовой части трассы и сначала едут по этой грунтовой части. На каком по счёту круге один из автомобилей впервые обгонит другой?
Ответ:
Решение:
Три черепахи одновременно начинают двигаться в одной плоскости по трём концентрическим окружностям с общим центром $O$ и радиусами $R_1=2$ м для первой, $R_2=3$ м для второй и $R_3=9$ м для третьей черепахи. В начальный момент времени черепахи находятся на одном луче с вершиной в точке $O$. Все черепахи двигаются против часовой стрелки с постоянными скоростями, причём скорость третьей черепахи в шесть раз больше скорости второй и относится к скорости первой черепахи как $9:4$. Черепахи продолжают своё движение до тех пор, пока не закончит свой круг последняя из них (та, что потратит на обход своего круга больше всего времени). Сколько раз за это время они окажутся на одной прямой, не проходящей через центр $O$?
Ответ:
Решение:
Группа отдыхающих в течение 2 ч 40 мин каталась на моторной лодке по реке с постоянной скоростью (относительно воды) попеременно то по течению, то против: в каждую сторону — в общей сложности не менее чем по 1 ч. В итоге лодка прошла путь 40 км (относительно берега) и, отчалив от пристани $A$, причалила к пристани $B$ на расстоянии 10 км от $A$. В какую сторону текла река? Какова при этих условиях максимальная скорость её течения?
Ответ:
Решение:
Два пешехода одновременно выходят из одного пункта и идут в одном направлении (скорость первого больше скорости второго). Через некоторое время из того же пункта в том же направлении выдвигается третий пешеход. Через 4 часа после старта первых двух пешеходов он оказывается ровно посередине между первым и вторым пешеходами, а ещё через 2 часа после этого третий пешеход догнал первого, после чего сразу развернулся и пошёл в обратном направлении, встретив второго пешехода через 36 минут после того, как сменил направление движения.
Определите:
а) через какое время после старта первых двух пешеходов вышел в путь третий?
б) во сколько раз скорость первого пешехода больше скорости второго?
Определите:
а) через какое время после старта первых двух пешеходов вышел в путь третий?
б) во сколько раз скорость первого пешехода больше скорости второго?
Ответ:
Решение:
Населённые пункты $A$, $B$, $C$ и $D$ находятся на берегу реки, причём $A$ и $D$ — вниз по течению реки, а $B$ — вверх по течению реки относительно пункта $C$. Пункты $A$ и $B$ находятся на одинаковом расстоянии 10 км по реке от пункта $C$, а расстояние между пунктами $C$ и $D$ по реке равно 105 км. Первый корабль отправляется из $B$ в сторону $C$, а через 6 минут после этого второй корабль отправляется из $B$ в $C$ и одновременно с ним 3-й отправляется из $A$ в $C$. В пункт $C$ все 3 корабля приплывают одновременно, после чего одновременно все три корабля отправляются в пункт $D$. 3-й корабль, доплыв до пункта $D$, сразу разворачивается и отправляется назад. На обратном пути 3-й корабль встречает второй в 15 км от пункта $D$, а первый — в 25 км от $D$. Найдите скорость течения реки и собственные скорости всех трёх кораблей.
Ответ:
Решение:
По шоссе в одном направлении с постоянной скоростью через равные интервалы времени идут без остановок автобусы. Один человек прошёл по шоссе 4 км, и за это время его обогнали 6 автобусов. В другой раз он прошёл 7 км и за это время его обогнали 8 автобусов. В третий раз он прошёл 17 км. Сколько автобусов при этом могло его обогнать? (Все три раза человек шел с одной и той же скоростью.) В ответ напишите сумму всех возможных решений.
Ответ:
Решение:
На беговой дорожке стадиона длиной 400 м одновременно со старта в одном направлении начали забег два спортсмена на дистанцию 10 км. Каждый из них бежал со своей постоянной скоростью. Первый спортсмен пришел на финиш на 16 мин 40 с раньше второго и через 43 мин 20 с после того, как он второй раз на дистанции (не считая момента старта) обогнал второго спортсмена. Известно, что скорость первого спортсмена больше 100 м/мин. Сколько раз первый спортсмен обогнал второго на дистанции после старта?
Ответ:
Решение:
Школьник Иванов проплывает на плоту путь между городами $A$ и $B$ за 15 часов. На моторной лодке вместе с папой он проплывает весь путь от $A$ до $B$ и обратно не менее чем за 8 часов. Точно такое же путешествие, но вместе с дедушкой (от $A$ до $B$ и обратно) занимает по времени не более 20 часов, при этом собственная скорость лодки при управлении дедушкой на $50\%$ меньше, чем у папы. Сколько часов школьник вместе с дедушкой плывут на моторной лодке от города $A$ до города $B$?
Ответ:
Решение:
Четыре лифта небоскреба, отличающиеся цветовой гаммой (красный, синий, зеленый и желтый) движутся в разных направлениях и с разной, но постоянной скоростью. Наблюдая за лифтами, некто включил секундомер, и, глядя на его показания, стал записывать: $36$-я секунда — красный лифт догнал синий (двигаясь с ним в одном направлении). $42$-я секунда — красный лифт разминулся с зеленым (двигаясь в разных направлениях), $48$-я секунда — красный лифт разминулся с желтым, $51$-я секунда — желтый лифт разминулся с синим, $54$-я секунда — желтый лифт догнал зеленый лифт. На какой секунде от начала отсчета зеленый лифт разминется с синим, если за период наблюдения лифты не останавливались и не меняли направления движения?
Ответ:
Решение:
Из пункта А в пункт В в 9-00 утра выезжает автобус. В этот же момент из В в А выезжают грузовик и трактор, причём скорость грузовика в два раза больше скорости трактора. Автобус прибывает в В тот же день в 14 часов 50 минут, при этом он встречает грузовик не ранее 11 часов 30 минут утра. Определите время прибытия трактора в пункт А, если между моментами встреч автобуса с грузовиком и автобуса с трактором проходит не менее одного часа.
Ответ:
Решение:
Мальчик едет на самокате от одной автобусной остановки до другой и смотрит в зеркало, не появился ли сзади автобус. Как только мальчик замечает автобус, он может изменить направление движения. При каком наибольшем расстоянии между остановками мальчик гарантированно не упустит автобус, если он знает, что едет со скоростью втрое меньшей скорости автобуса и способен увидеть автобус на расстоянии не более 2 км?
Ответ:
Решение:
Пункты $A$ и $B$, находящиеся на кольцевой аллее, соединены прямолинейным отрезком шоссе длиной $4$ км, являющимся диаметром кольцевой аллеи. Из пункта $A$ из дома по аллее вышел на прогулку пешеход. Через $1$ час он обнаружил, что забыл ключи, и попросил соседа-велосипедиста поскорее привезти их. Через какое минимальное время он может получить ключи, если скорость велосипедиста на шоссе равна $15$ км/ч, на аллее — $20$ км/ч, а скорость пешехода — $6$ км/ч? Пешеход может идти навстречу велосипедисту.
Ответ:
Решение:
Между пунктами $A$ и $B$ с постоянной скоростью курсирует один автобус (время на остановки пренебрежимо мало). Из пункта $A$ в пункт $B$ со скоростью 11 км/ч выехал велосипедист и за время пути строго между этими пунктами ровно 5 раз поравнялся с автобусом. В каких пределах может находиться скорость автобуса при этих условиях?
Ответ:
Решение:
Из пункта $A$ в пункт $B$ ровно в полдень выехал велосипедист; одновременно с ним из $B$ в $A$ выехал автомобиль. Спустя некоторое время из пункта $A$ вслед за велосипедистом выехал мотоциклист, который догнал велосипедиста в тот момент, когда последний встретился с автомобилем. По прибытии в $A$ автомобиль немедленно развернулся и проследовал в пункт $B$, куда и прибыл одновременно с мотоциклистом, но на 50 мин раньше велосипедиста. Определите, в какой момент времени мотоциклист выехал из пункта $A$, если известно, что это произошло за 1 ч 20 мин до прибытия туда автомобиля.
Ответ:
Решение:
Агриппина гоняет в школу на самокате, по тротуару — но на её пути есть два пешеходных перехода со светофорами. От дома до первого перехода расстояние 50 метров, ширина первого перехода равна 30 метров, потом до следующего перехода ей надо ехать 120 метров, второй переход шириной 10 метров — а там уже и школа.
Светофоры работают так:
Агриппина может гнать сколь угодно быстро, и намерена попасть в школу как можно скорее, но ускорения она не любит — девочка выезжает из дому с постоянной скоростью, которую и будет поддерживать на протяжении всего пути, не считаясь с правилами дорожного движения.
С какой наибольшей скоростью она сможет доехать до школы так, чтобы ей ни разу не пришлось проехать на красный, и чтобы светофор не переключился на красный, пока она ещё на зебре?
Светофоры работают так:
- на первом переходе машинам даётся 30 секунд, пешеходам — 50 секунд,
- на втором переходе машинам даётся 50 секунд, пешеходам — 50 секунд,
Агриппина может гнать сколь угодно быстро, и намерена попасть в школу как можно скорее, но ускорения она не любит — девочка выезжает из дому с постоянной скоростью, которую и будет поддерживать на протяжении всего пути, не считаясь с правилами дорожного движения.
С какой наибольшей скоростью она сможет доехать до школы так, чтобы ей ни разу не пришлось проехать на красный, и чтобы светофор не переключился на красный, пока она ещё на зебре?
Ответ:
Решение:
Пловец решил переплыть реку. Сначала он взял направление перпендикулярно течению — и течение снесло его на 12 метров. Оттуда он решил вернуться туда, откуда начал — он взял направление на точку, из которой началось плавание, и теперь течение снесло его на 20 метров от желаемой точки. Найдите ширину реки.
Ответ:
Решение:
В бескрайних калмыцких степях мама отправила маленькую дочку навестить бабушку. У девочки не было ни навигатора, ни компаса, а только часы, которыми она ещё не умела пользоваться, но у которых был ежечасный звуковой сигнал. Зная обычную скорость их любимого верблюда, мама рассчитала маршрут для дочки. Отправляя её в путь при звуковом сигнале часов в направлении, соответствующем положению солнца в этот момент, велела через час (по очередному сигналу часов) изменить направление движения в соответствии с новым положением солнца. Так в конце концов девочка и доехала бы до бабушки. Но, когда пришло время менять направление, девочка заметила далеко впереди юрту своей подружки, она продолжила движение, не меняя направления, доехала до подружки и проговорила с ней 21 минуту, пока не прозвучал следующий сигнал часов. Тогда она вспомнила наставление матери и продолжила путь в направлении, соответствующем новому положению солнца. Как ни странно, до бабушки она доехала. Сколько всего времени (в минутах) она на это потратила?
Ответ:
Решение:
Семейство Дурслей скрывает Гарри Поттера на острове, который находится на расстоянии 9 км от берега. Берег прямолинейный. На берегу, в 15 километрах от той точки берега, которая ближе всего к острову, находится Хагрид на волшебном мотоцикле, и он хочет добраться до Гарри как можно быстрее. По побережью мотоцикл едет со скоростью 50 км/час, а над морем летит со скоростью 40 км/час. План у Хагрида такой: сначала проехать $X$ километров по побережью, а потом взять курс напрямик на остров. Какое значение $X$ наилучшим образом подходит для целей Хагрида?
Ответ:
Решение:
Стрелочные часы показывают ровно час. Комар и муха сидят на одинаковом расстоянии от центра на часовой и минутной стрелках соответственно. Когда стрелки совпадают, насекомые меняются местами. Во сколько раз расстояние, которое за полсуток преодолел комар, больше расстояния, которое преодолела за это же время муха?
Ответ:
Решение: