В финал конкурса спектаклей к 8 марта вышли два спектакля. В первом играли $n$ учеников 5 класса А, а во втором — $n$ учеников 5 класса Б. На спектакле присутствовали $2n$ мам всех $2n$ учеников. Лучший спектакль выбирается голосованием мам. Известно, что ровно половина мам честно голосует за лучший спектакль, а другая половина в любом случае голосует за спектакль, в котором участвует её ребенок.
а) Найдите вероятность того, что лучший спектакль победит с перевесом голосов.
б) Тот же вопрос, если в финал вышло больше двух спектаклей.
а) Найдите вероятность того, что лучший спектакль победит с перевесом голосов.
б) Тот же вопрос, если в финал вышло больше двух спектаклей.
Ответ:
Решение:
На новогоднюю елку повесили 100 лампочек в ряд. Затем лампочки стали переключаться по следующему алгоритму: зажглись все, через секунду погасла каждая вторая лампочка, еще через секунду каждая третья лампочка переключилась: если горела, то погасла и наоборот. Через секунду каждая четвертая лампочка переключилась, еще через секунду — каждая пятая и так далее. Через 100 секунд все закончилось. Найдите вероятность того, что случайно выбранная после этого лампочка горит (лампочки не перегорают и не бьются).
Ответ:
Решение:
В ящике 2009 носков — синих и красных. Может ли синих носков быть столько, чтобы вероятность вытащить наудачу два носка одного цвета была равна $0{,}5$?
Ответ:
Решение:
Имеются два симметричных кубика. Можно ли так написать на их гранях некоторые числа, чтобы сумма очков при бросании принимала значения 1, 2, …, 36 с равными вероятностями?
Ответ:
Решение:
Проведите следующий эксперимент 10 раз: подбросьте вначале монету 10 раз подряд и запишите количество выпавших орлов, затем подбросьте монету 9 раз подряд и также запишите количество выпавших орлов. Назовем эксперимент удачным, если в первом случае количество выпавших орлов больше, чем во втором. После проведения серии из 10 таких экспериментов запишите количество удачных и неудачных экспериментов. Собранную статистику оформите в виде таблицы.
а) Ваня бросает монету 3 раза, а Таня — два. Какова вероятность, что у Вани больше орлов, чем у Тани?
б) Ваня бросает монету $n+1$ раз, а Таня — $n$ раз. Какова вероятность, что у Вани больше орлов, чем у Тани?
а) Ваня бросает монету 3 раза, а Таня — два. Какова вероятность, что у Вани больше орлов, чем у Тани?
б) Ваня бросает монету $n+1$ раз, а Таня — $n$ раз. Какова вероятность, что у Вани больше орлов, чем у Тани?
Ответ:
Решение:
Витя и Маша родились в одном и том же году в июне. Найдите вероятность того, что Витя хотя бы на один день старше Маши.
Ответ:
Решение:
В мебельный магазин завезли партию офисных кресел. Кресла были одинаковые во всём, кроме цветов: 15 кресел были чёрными и 18 — коричневыми. Кресла пользовались спросом и раскупались в случайном порядке. В какой-то момент покупатель на сайте магазина обнаружил, что в продаже осталось только два кресла. Какова вероятность того, что эти два кресла одного цвета?
Ответ:
Решение:
Одну игральную кость бросают три раза. Какое событие более вероятно: $A$ «какое-то число очков выпадет хотя бы два раза» или $B$ «при трёх бросках выпадут три разных числа очков».
Ответ:
Решение:
Аня хочет купить мороженое, которое стоит 19 рублей. В кармане у неё две монеты по 10 рублей, две монеты по 5 рублей и одна монета в 2 рубля. Аня не глядя вынимает из кармана три монеты. Найдите вероятность того, что вынутых монет хватит, чтобы заплатить за мороженое.
Ответ:
Решение:
В красном ящике 100 красных шаров, а в зелёном ящике — 100 зелёных шаров. Восемь красных шаров переложили в зелёный ящик, а потом столько же шаров переложили из зелёного ящика в красный. Шары в ящиках хорошенько перемешали. Что теперь больше: вероятность вытащить наудачу из красного ящика зелёный шар или из зелёного ящика красный?
Ответ:
Решение:
Василий Петров выполняет задание по английскому языку. В этом задании есть 10 английских выражений и их переводы на русский в случайном порядке. Нужно установить верные соответствия между выражениями и их переводами. За каждое правильно установленное соответствие даётся 1 балл. Таким образом, можно получить от 0 до 10 баллов. Вася ничего не знает, поэтому выбирает варианты наугад. Найдите вероятность того, что он получит ровно 9 баллов.
Ответ:
Решение:
Лёня и Коля одновременно бросают по одной игральной кости. Выигрывает тот, у кого выпало больше очков. Если выпало поровну — наступает ничья. Какова вероятность того, что Лёня не выиграет?
Ответ:
Решение:
Петя и Вася одновременно бросают по одной игральной кости. Выигрывает тот, у кого выпало больше очков. Если выпало поровну — наступает ничья. Какова вероятность того, что Петя выиграет?
Ответ:
Решение:
Поле для игры в крестики-нолики (три на три клетки) случайным образом заполняют шестью крестиками и тремя ноликами. Найдите вероятность того, что все три нолика окажутся «в выигрышной позиции», то есть в один ряд по вертикали, по горизонтали или по диагонали.
Ответ:
Решение:
Имеются карточки с натуральными числами от 1 до 5. Карточки хорошо перемешали и наугад выбирают две штуки. Найдите вероятность того, что на выбранных карточках окажутся два последовательных числа.
Ответ:
Решение:
Имеется две монеты. Можно ли написать на каждой стороне каждой монеты по одному числу так, чтобы сумма выпавших чисел при бросании этих монет принимала значения 1, 3, 5 и 7 с равными вероятностями 0,25?
Ответ:
Решение:
Три усталых ковбоя зашли в салун и повесили свои шляпы на бизоний рог при входе. Когда глубокой ночью ковбои уходили, они не смогли отличить одну шляпу от другой и поэтому разобрали шляпы наугад. Найдите вероятность того, что хотя бы кому-нибудь из ковбоев досталась его же собственная шляпа. При необходимости результат округлите до сотых.
Ответ:
Решение:
Имеется две монеты. Можно ли написать на каждой стороне каждой монеты по одному числу так, чтобы сумма выпавших чисел при бросании этих монет принимала значения 1, 2, 3 и 4 с равными вероятностями 0,25?
Ответ:
Решение:
Петя подходит к двери подъезда с кодовым замком, на замке расположены кнопки с цифрами от 0 до 9. Чтобы открыть дверь, нужно одновременно нажать три правильные кнопки. Петя не помнит код и пробует по очереди комбинации. На каждую попытку Петя тратит 2 секунды.
а) Сколько времени понадобится Пете, чтобы наверняка попасть в подъезд?
б) Сколько времени в среднем понадобится Пете?
в) Какова вероятность того, что Петя попадет в подъезд менее чем за одну минуту?
а) Сколько времени понадобится Пете, чтобы наверняка попасть в подъезд?
б) Сколько времени в среднем понадобится Пете?
в) Какова вероятность того, что Петя попадет в подъезд менее чем за одну минуту?
Ответ:
Решение:
В городе, где живет Рассеянный Ученый, телефонные номера состоят из 7 цифр. Ученый легко запоминает телефонный номер, если этот номер — палиндром, то есть он одинаково читается слева направо и справа налево.
Например, номер $443\,53\,44$ Ученый запоминает легко, потому что этот номер — палиндром. А номер $372\,36\,27$ — не палиндром, поэтому Ученый такой номер запоминает с трудом.
Найдите вероятность того, что телефонный номер нового случайного знакомого Ученый запомнит легко.
Например, номер $443\,53\,44$ Ученый запоминает легко, потому что этот номер — палиндром. А номер $372\,36\,27$ — не палиндром, поэтому Ученый такой номер запоминает с трудом.
Найдите вероятность того, что телефонный номер нового случайного знакомого Ученый запомнит легко.
Ответ:
Решение: