В классе не больше 35 человек, и среди них есть те, кого зовут Петя. Вероятность того, что случайно выбранный ученик выше всех Петь, равна $\frac{1}{6}$, а вероятность того, что случайно выбранный ученик ниже всех Петь, равна $\frac{3}{5}$. Какое наибольшее количество Петь может быть в классе?
Ответ:
Решение:
Как известно, друг и компаньон Робинзона Крузо получил имя Пятница по той причине, что встретились они в какую-то пятницу. Это было в январе, а вот в каком году — установить уже невозможно. Робинзон уверен лишь в том, что с равными шансами это могло случиться в любой год, начиная с 1668-го и заканчивая 1671-ым. Робинзон и Пятница свято чтили день своей встречи и торжественно отмечали его каждый год. Каким днём недели мог оказаться день одиннадцатой годовщины их встречи? С какой вероятностью?
Ответ:
Решение:
На 9 карточках написаны цифры от 1 до 9 — по одной на каждой карточке. Из них выбрали три случайные карточки и положили в ряд. Какова вероятность того, что получившееся трёхзначное число делится на 3?
Ответ:
Решение:
В билете лотереи «6 из 45» всего 45 натуральных чисел. Из этих 45 чисел участник лотереи должен выбрать комбинацию, в которой ровно 6 чисел. Два участника независимо друг от друга выбирают свои комбинации. Какова вероятность того, что в их комбинациях окажется ровно одно общее число?
Ответ:
Решение:
В двух коробках лежали конфеты белого и тёмного шоколада одинаковой формы, причём вероятность достать наудачу белую конфету из первой коробки была равна $\frac{4}{7}$, а из второй — $\frac{3}{5}$. Все конфеты ссыпали в один мешок, хорошо перемешали и теперь из мешка достают одну случайную конфету. Три математика делают прогнозы.
Первый: «Конфета окажется белой с вероятностью $\frac{7}{12}$».
Второй: «Конфета окажется белой с вероятностью $\frac{11}{19}$».
Третий: «Конфета окажется белой с вероятностью $\frac{19}{35}$».
Кто из математиков может оказаться прав, а кто не может? Объясните ответ.
Первый: «Конфета окажется белой с вероятностью $\frac{7}{12}$».
Второй: «Конфета окажется белой с вероятностью $\frac{11}{19}$».
Третий: «Конфета окажется белой с вероятностью $\frac{19}{35}$».
Кто из математиков может оказаться прав, а кто не может? Объясните ответ.
Ответ:
Решение:
В двух пакетиках лежали одинаковые по форме синие и жёлтые леденцы, причём вероятность достать наудачу синий леденец из первого пакетика была равна $\frac{2}{5}$, а из второго — $\frac{3}{8}$. Все леденцы ссыпали в одну коробку, хорошо перемешали и теперь из коробки достают один случайный леденец. Три математика делают прогнозы.
Первый: «Леденец окажется синим с вероятностью $\frac{5}{13}$».
Второй: «Леденец окажется синим с вероятностью $\frac{7}{18}$».
Третий: «Леденец окажется синим с вероятностью $\frac{17}{40}$».
Кто из математиков может оказаться прав, а кто не может? Объясните ответ.
Первый: «Леденец окажется синим с вероятностью $\frac{5}{13}$».
Второй: «Леденец окажется синим с вероятностью $\frac{7}{18}$».
Третий: «Леденец окажется синим с вероятностью $\frac{17}{40}$».
Кто из математиков может оказаться прав, а кто не может? Объясните ответ.
Ответ:
Решение:
Из натуральных чисел от 1 до $n$ нужно выбрать $k$ различных $(k\lt n)$. Программист предлагает следующий алгоритм. 1. Все числа располагают по кругу (в вершинах $n$-угольника). 2. Первое число выбирается случайным образом. 3. Каждое следующее число выбирается независимо от предыдущих. Если оно совпало с каким-то из уже выбранных, следует двигаться по часовой стрелке до первого невыбранного числа.
В конце концов, получается $k$ различных чисел.
а) Верно ли, что появление каждого конкретного числа в такой выборке равновероятно?
б) Верно ли, что появление всех выборок равновероятно?
В конце концов, получается $k$ различных чисел.
а) Верно ли, что появление каждого конкретного числа в такой выборке равновероятно?
б) Верно ли, что появление всех выборок равновероятно?
Ответ:
Решение:
В День города в парке всем посетителям раздавали леденцы — жёлтые и красные. Сначала в коробке у волонтёра было 800 жёлтых леденцов и 1200 красных. Каждому желающему волонтёр даёт один или два случайно выбранных леденца. В какой-то момент леденцы одного из цветов закончились. Какова вероятность того, что все оставшиеся в коробке леденцы красные?
Ответ:
Решение:
В группе 8 российских туристов. Трое из них говорят по-английски, а двое других — по-испански. Остальные говорят только по-русски. Группу случайным образом разбивают на две подгруппы по 4 человека в каждой. С какой вероятностью в каждой подгруппе найдётся кто-нибудь, кто говорит по-английски, и кто-нибудь, кто говорит по-испански?
Ответ:
Решение:
Перед взлётом стюардесса предлагает пассажирам лимонные и апельсиновые леденцы в одинаковых обёртках. Сначала на подносе у стюардессы было 130 лимонных и 70 апельсиновых леденцов. Каждый желающий пассажир берёт один-два случайных леденца. В какой-то момент на подносе остались леденцы только одного вида. Какова вероятность того, что все оставшиеся на подносе леденцы апельсиновые?
Ответ:
Решение:
В группе 8 российских туристов. Трое из них говорят по-английски, а двое других — по-испански. Остальные говорят только по-русски. Группу случайным образом разбивают на две подгруппы по 4 человека в каждой. С какой вероятностью в одной из подгрупп не будет никого, кто говорит по-английски, а в другой — никого, кто говорит по-испански?
Ответ:
Решение:
Двое играют в «пасхальный бой яиц». Перед ними большая корзина с яйцами. Они наугад берут по яйцу и ударяют их друг о друга. Одно из яиц разбивается, побеждённый берёт новое яйцо, а победитель сохраняет своё яйцо для следующего раунда (исход каждого раунда зависит только от того, у какого яйца скорлупа прочнее; победившее яйцо сохраняет свою прочность). Известно, что первый игрок победил в первых десяти раундах. Какова вероятность того, что он же победит и в следующем раунде?
Ответ:
Решение:
Круговой турнир по анчурийским шашкам проводится в несколько туров. Все игроки разбиваются на случайные игровые пары. Если число игроков нечётно, то один случайный игрок остается без пары и не участвует в туре. Проигравший в каждой паре (ничья невозможна) выбывает из турнира, а победители и игрок без пары, если он есть, выходят в следующий тур, который проводится по таким же правилам. Так продолжается до тех пор, пока не останутся двое. Они играют между собой последнюю партию, которая выявляет победителя турнира.
В Анчурию на шашечный турнир приехало 27 участников, причем все играют одинаково хорошо, то есть в партии, которую играют любые двое, шансы соперников одинаковы. Известно, что игроку Денису в первом туре не досталось пары. Какова вероятность того, что Денис станет победителем турнира?
В Анчурию на шашечный турнир приехало 27 участников, причем все играют одинаково хорошо, то есть в партии, которую играют любые двое, шансы соперников одинаковы. Известно, что игроку Денису в первом туре не досталось пары. Какова вероятность того, что Денис станет победителем турнира?
Ответ:
Решение:
Круговой турнир по швамбранским шахматам проводится в несколько туров. Все игроки разбиваются на случайные игровые пары. Если число игроков нечётно, то один случайный игрок остается без пары и не участвует в туре. Проигравший в каждой паре (ничья невозможна) выбывает из турнира, а победители и игрок без пары, если он есть, выходят в следующий тур, который проводится по таким же правилам. Так продолжается до тех пор, пока не останутся двое. Они играют между собой последнюю партию, которая выявляет победителя турнира.
В Швамбранию на шахматный турнир приехало 23 участника, причем все играют одинаково хорошо, то есть в партии, которую играют любые двое, шансы соперников одинаковы. Известно, что игроку Олегу при жеребьёвке выпало играть с кем-то из соперников в первом туре. Какова вероятность того, что при этом условии Олег станет победителем турнира?
В Швамбранию на шахматный турнир приехало 23 участника, причем все играют одинаково хорошо, то есть в партии, которую играют любые двое, шансы соперников одинаковы. Известно, что игроку Олегу при жеребьёвке выпало играть с кем-то из соперников в первом туре. Какова вероятность того, что при этом условии Олег станет победителем турнира?
Ответ:
Решение:
У Маши в корзинке 15 подосиновиков и 12 белых грибов. Маша не глядя достаёт из корзинки по одному грибу. Подосиновики Маша откладывает в одну кучку, а белые — в другую. В какой-то момент Маша взяла из корзинки последний белый гриб. Какова вероятность того, что в этот момент в корзинке осталось ровно 3 подосиновика?
Ответ:
Решение:
Варя и Валя собирают наклейки из творожных сырков. Всего в коллекции 18 разных наклеек. Известно, что сейчас у Вари 12 разных наклеек, а у Вали — только 10 разных наклеек. Какова вероятность того, что если Варя и Валя объединят свои коллекции, то у них вместе получится полная коллекция?
Ответ:
Решение:
У Нины в корзинке 36 подосиновиков и 14 белых грибов. Нина не глядя достаёт из корзинки по одному грибу. Подосиновики она откладывает в одну кучку, а белые — в другую. В какой-то момент Нина взяла из корзинки последний белый гриб. Какова вероятность того, что в этот момент в корзинке осталось ровно 2 подосиновика?
Ответ:
Решение:
Тёма и Сёма собирают купоны из стаканчиков с мороженым. Всего в коллекции 17 разных купонов. На данный момент у Тёмы 11 разных купонов, а у Сёмы — только 9 разных купонов. Какова вероятность того, что если Тёма и Сёма объединят свои коллекции, то у них вместе получится полная коллекция?
Ответ:
Решение:
У Вали есть две правильные игральные кости в форме икосаэдра (икосаэдр — правильный двадцатигранник, см. рисунок).
Валя хочет написать на гранях числа так, чтобы при случайном бросании этих двух икосаэдров сумма выпавших чисел принимала все натуральные значения от 1 до 100 с равными вероятностями. Приведите пример, как Валя может разметить икосаэдры.
Валя хочет написать на гранях числа так, чтобы при случайном бросании этих двух икосаэдров сумма выпавших чисел принимала все натуральные значения от 1 до 100 с равными вероятностями. Приведите пример, как Валя может разметить икосаэдры.
Ответ:
Решение:
У Вали есть две правильные игральные кости в форме икосаэдра (икосаэдр — правильный двадцатигранник, см. рисунок).
Валя хочет написать на гранях числа так, чтобы при случайном бросании этих двух икосаэдров сумма выпавших чисел принимала все натуральные значения от 1 до 50 с равными вероятностями. Приведите пример, как Валя может разметить икосаэдры.
Валя хочет написать на гранях числа так, чтобы при случайном бросании этих двух икосаэдров сумма выпавших чисел принимала все натуральные значения от 1 до 50 с равными вероятностями. Приведите пример, как Валя может разметить икосаэдры.
Ответ:
Решение: