В данном разделе собраны задачи, при решении которых можно (хотя и не обязательно, и даже не всегда целесообразно) ввести прямоугольную систему координат или выбрать какой-либо векторный базис. Решение задач этого раздела следует начинать с осмысления условия и выбора подходящей системы координат, в которой наиболее просто найти координаты нужных точек и векторов, записать уравнения нужных прямых, алгебраически записать заданные в задаче геометрические отношения.
К окружности, вписанной в квадрат $ABCD$, проведена касательная, пересекающая стороны $AB$ и $AD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Прямая $MN$ пересекает прямую $CD$ в точке $P$. В каком отношении делит сторону $BC$ прямая, проходящая через точку $P$ и центр окружности, если $AM:MB=1:2$?
Ответ:
Решение:
Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ большей боковой стороны прямоугольной трапеции $ABCD$ и касается боковой стороны $AD$ в точке $T$. Найдите расстояние от точки $T$ до прямой $BC$, если основания трапеции $AB$ и $CD$ равны 4 и 9 соответственно.
Ответ:
Решение:
В прямоугольнике $ABCD$ задано отношение сторон: $AB:AD=4:3$. На стороне $BC$ взята точка $M$ так, что $BM:CM=1:2$. На стороне $CD$ взята точка $K$ так, что $DK:CK=3:5$. Докажите, что $AK\perp DM$.
Ответ:
Решение:
На стороне $BC$ прямоугольника $ABCD$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=1:2$, а на стороне $CD=2\cdot BC$ взята точка $K$ так, что $CK:KD=5:1$. Доказать, что $AK \perp DM$.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ меньшая боковая сторона $AD=8$ перпендикулярна основаниям $AB=9$ и $CD=5$. На большем основании взята точка $M$ так, что $AM:MB=2:7$, на большей боковой стороне взята точка $K$ так, что $BK:CK=1:3$. Доказать, что $AK\perp DM$.
Ответ:
Решение:
Дан ромб $ABCD$ с диагоналями $AC=6$ и $BD=12$. Проведена окружность радиуса $\displaystyle\frac{6}{\sqrt{17}}$ с центром в точке пересечения диагоналей ромба. Прямая, проходящая через вершину $B$ ромба, касается этой окружности и пересекает сторону $CD$ в точке $M$. Найти $CM$.
Ответ:
Решение:
Дан ромб $ABCD$ с диагоналями $AC=16$ и $BD=8$. Проведена окружность радиуса $\displaystyle\frac{8}{\sqrt{13}}$ с центром в точке пересечения диагоналей ромба. Прямая, проходящая через вершину $B$ ромба, касается этой окружности и пересекает сторону $CD$ в точке $M$. Найти $CM$.
Ответ:
Решение:
Дан ромб $ABCD$ с диагоналями $AC=16$ и $BD=8$. Проведена окружность радиуса $\displaystyle\frac{8}{\sqrt{53}}$ с центром в точке пересечения диагоналей ромба. Прямая, проходящая через вершину $B$ ромба, касается этой окружности и пересекает сторону $CD$ в точке $M$. Найти $CM$.
Ответ:
Решение:
Дан ромб $ABCD$ с диагоналями $AC=16$ и $BD=8$. Проведена окружность радиуса $\displaystyle\frac{24}{\sqrt{61}}$ с центром в точке пересечения диагоналей ромба. Прямая, проходящая через вершину $B$ ромба, касается этой окружности и пересекает сторону $CD$ в точке $M$. Найти $CM$.
Ответ:
Решение:
В плоскости равностороннего треугольника через его центр проведена произвольная прямая. Докажите, что сумма квадратов расстояний от вершин треугольника до этой прямой не зависит от выбора прямой.
Ответ:
Решение:
Прямая проходит через центр квадрата со стороной 1. Найдите сумму квадратов расстояний от всех вершин квадрата до этой прямой.
Ответ:
Решение:
Треугольник $ABC$ — прямоугольный с катетами $AC=3$ и $BC=4$. Прямая, перпендикулярная биссектрисе угла $ABC$, пересекает продолжение стороны $AC$ треугольника в точке $K$. Прямая, перпендикулярная биссектрисе угла $ACB$, пересекает продолжение стороны $AB$ в точке $M$. Прямая, перпендикулярная биссектрисе угла $BAC$, пересекает продолжение стороны $BC$ в точке $L$. Доказать, что $KL=LM$.
Ответ:
Решение:
Пусть $O$ — центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB=AC$), $D$ — середина стороны $AB$, а $E$ — точка пересечения медиан треугольника $ACD$. Докажите, что $OE \perp CD$.
Ответ:
Решение:
Дан четырёхугольник $ABCD$, в котором $AB=AD$ и $\angle ABC=\angle ADC=90^{\circ }$. На сторонах $BC$ и $CD$ выбраны соответственно точки $F$ и $E$ так, что $DF \perp AE$. Докажите, что $AF \perp BE$.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$. На его сторонах $AB$ и $BC$ построены внешним образом квадраты $ABMN$ и $BCPQ$. Докажите, из середины отрезка $NP$ сторона $AC$ видна под прямым углом.
Ответ:
Решение:
В прямоугольнике $ABCD$ опущен перпендикуляр $BK$ на диагональ $AC$. Точки $M$ и $N$ — середины отрезков $AK$ и $CD$ соответственно. Докажите, что угол $BMN$ прямой.
Ответ:
Решение:
Точка $K$ — середина стороны $AB$ квадрата $ABCD$, а точка $M$ лежит на диагонали $AC$, причем $AM:MC=3:1$. Докажите, что угол $KMD$ прямой.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC=8$) точка $E$ делит боковую сторону $AB$ в отношении $3:1$, считая от вершины $B$. Найти угол между прямыми $CE$ и $CA$, если $AC=12$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ длины катетов равны $6$ и $8$. Прямая $AD$ делит сторону $BC$ в отношении $BD:DC=4:5$. Найти угол между прямыми $AB$ и $AD$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AD$ вдвое длиннее стороны $AB$. Внутри прямоугольника расположена точка $M$, причем $AM=\sqrt2$, $BM=2$, $CM=6$. Найти угол $ABM$ и площадь прямоугольника $ABCD$.
Ответ:
Решение: