Готовые варианты контрольных — за минуты

В стране $n\gt 100$ городов и пока нет дорог. Правительство наугад определяет стоимость строительства дороги (с двусторонним движением) между каждыми двумя городами, используя по разу все суммы от 1 до $n(n-1)/2$ талеров (все варианты равновероятны). Мэр каждого города выбирает самую дешёвую из $n-1$ возможных дорог, идущих из этого города, и она строится (это может быть взаимным желанием мэров обоих соединяемых городов или только одного из двух).
После строительства этих дорог города оказываются разбиты на $M$ компонент связности (между городами одной компоненты связности можно добраться по построенным дорогам, возможно, с пересадками, а между городами разных компонент — нельзя). Найдите математическое ожидание случайной величины $M$.

Муха ползет по решетке $n\times n$ из левого нижнего узла $A$ в верхний правый узел $B$, двигаясь только вправо или вверх (рис. 2). Каково математическое ожидание числа поворотов на траектории мухи, если в каждом узле, где есть ветвление, муха с равными вероятностями выбирает следующий отрезок пути?

Рис. 2

Работа Рассеянного Учёного связана с длительными командировками, и поэтому он часто летает самолётами одной и той же авиакомпании. У этой авиакомпании много одинаковых самолётов, и все они имеют имена. Поскольку Учёный летает не каждый день и даже не каждую неделю, можно считать, что всякий раз ему «достаётся» случайный самолёт. Из любопытства и по привычке Рассеянный Учёный каждый раз записывает, на каком самолёте он летит. В своём пятнадцатом полёте Учёный оказался на борту самолёта, гордо носящего имя «Симеон Дени Пуассон». После взлёта Учёный достал свою книжечку, чтобы записать имя самолёта, и обнаружил, что на «Пуассоне» он уже один раз летел, а прежде повторений не было. Оцените количество самолётов в авиакомпании.

На сушке в случайном порядке (как достали из стиральной машины) висит $n$ пар носков. Двух одинаковых пар нет. Носки висят за сохнущей простыней, поэтому Рассеянный Ученый достает по одному носку на ощупь и сравнивает каждый новый носок со всеми предыдущими. Найдите математическое ожидание числа носков, снятых к моменту, когда у Учёного окажется какая-нибудь пара.

Беспроигрышная лотерея устроена по следующим правилам. Игрок покупает лотерейный билет за $n$ рублей, причём цену он назначает сам ($n$ — целое, большее 1). Затем генератор случайных чисел выбирает случайное натуральное число из отрезка от 1 до $n$ включительно. Выигрыш игрока равен сумме делителей выбранного числа в рублях. Может ли игрок назначить цену лотерейного билета так, чтобы математическое ожидание выигрыша было больше его затрат?

Производитель шоколадных яиц с игрушкой внутри объявил, что выпускается новая коллекция, в которой десять разных крокодилов. Крокодилы равномерно и случайно распределены по шоколадным яйцам, то есть в случайно выбранном яйце каждый из крокодилов может оказаться с вероятностью 0,1. Леша захотел собрать полную коллекцию. Каждый день мама покупает ему одно шоколадное яйцо с крокодилом.
Сначала в коллекции Леши появился крокодил в очках, затем — крокодил с газетой. Третьим экземпляром, какого не было прежде, стал крокодил с тростью. Найдите математическое ожидание случайной величины «количество крокодилов с тростью, которые оказались у Леши к моменту, когда у него образовалась полная коллекция».

Закончив писать книгу о степенных средних, Рассеянный Ученый решил заняться лепидоптерологией, то есть изучением бабочек. Он взял сачок и отправился на Суматру, где водится ровно $n$ видов бабочек. Когда Ученый видит бабочку, он накрывает ее сачком, а уже потом рассматривает, поскольку зрение у Ученого не очень хорошее.
Пойманная бабочка может оказаться $j$-го вида с вероятностью $p_j$, где $j=1,\ldots,n$. Если бабочку такого вида Ученый еще не видел, то он ее тщательно измеряет, взвешивает, фотографирует, описывает и отпускает на волю. Если же бабочка такого вида уже встречалась, то Ученый отпускает ее сразу и ищет следующую бабочку.
Покажите, что через три дня такой охоты математическое ожидание числа видов бабочек, недостающих в описании Ученого, будет минимально возможным, если все вероятности $p_j$ равны между собой.

Неправдоподобная легенда гласит, что однажды в маленькой лавке в центре Львова Стефан Банах купил два коробка спичек и положил их в карман пиджака. В каждом коробке было 60 спичек.
Когда Банаху нужна спичка, он вынимает случайный коробок и берет из него спичку. В какой-то момент Банах достал коробок и обнаружил, что он пуст. Найдите математическое ожидание числа спичек в другом коробке.

В новом только что заселённом многоквартирном доме рабочие повесили блок из 80 почтовых ящиков. Внутрь каждого ящика они положили кольцо с ключом и биркой с номером квартиры, но не позаботились о том, чтобы в каждом ящике лежал ключ от этого ящика. Они просто покидали ключи в ящики в случайном порядке. Ящики, разумеется, заперты.
Рассеянный Учёный, недавно поселившийся в квартире 37, обрадовался, увидев ящики, но консьержка сказала, что достать ключи она не может. Нужно идти в управляющую компанию, которая осуществляет приём граждан каждый третий понедельник месяца с 12.00 до 12.30.
Найдя в мусорной урне палочку (кто-то заказывал суши), Учёный с четвёртой попытки сумел извлечь ключ из ящика № 37. Он рассуждал следующим образом: если это ключ от моего ящика, то всё хорошо. Если нет, то я открою ящик, от которого этот ключ, ключ оставлю в замке, выну из ящика следующий ключ, открою им следующий ящик и так далее, пока не достану свой ключ.
а) Докажите, что описанный алгоритм результативен, то есть что Рассеянный Учёный найдёт свой ключ.
б) Найдите математическое ожидание числа жильцов, которым придётся ковырять в ящиках палочкой, если все они будут следовать алгоритму Рассеянного Учёного.

Непрерывная случайная величина $X$ имеет функцию плотности $y=f(x)$, которая равна нулю при $x\lt a$ и при $x\geqslant b$, а на промежутке $[a;b)$ непрерывна, положительна и монотонно убывает. Докажите, что математическое ожидание случайной величины $X$ больше, чем её медиана.
Медианой случайной величины $X$ называется такое число $m$, что $\mathrm{P}(X\leqslant m)\geqslant 0{,}5$ и $\mathrm{P}(X\geqslant m)\geqslant 0{,}5$. Если случайная величина имеет конечную функцию плотности $y=f(x)$, то прямая $x=m$ делит фигуру, ограниченную осью абсцисс и графиком плотности, на две фигуры, площадь каждой из которых равна 0,5.

В ящике $n$ белых и $n$ черных шаров. Шары достают из ящика по два шара за раз — случайными парами.
а) Найдите математическое ожидание числа разноцветных пар, извлечённых из ящика к моменту, когда ящик опустел.
б) Предположим, что если пара разноцветная, то её откладывают в сторону, а если одноцветная, то её возвращают в ящик. Такую операцию назовем попыткой. Найдите математическое ожидание числа попыток, нужных, чтобы все шары были отложены в сторону, и в ящике ничего не осталось.

В книге Щепана Еленьского имеется небольшой очерк о чемоданах.
В универмаг прислали 10 чемоданов, а в конверте отдельно 10 ключей, причём предупредили, что каждый ключ открывает только 1 чемодан и что к каждому чемодану можно подобрать подходящий ключ.
Работник универмага, который получал эти чемоданы, вздохнул:
— Сколько возни с подбором ключей! Я знаю, какими упрямыми бывают неодушевлённые предметы! Начнёшь подбирать ключ к первому чемодану, и обязательно окажется, что подойдёт только десятый ключ. Десять раз перепробуешь ключи из-за одного чемодана, а из-за десяти — целых сто раз!
Не будем цитировать Еленьского дальше, а кратко перескажем суть. Продавщица сказала, что число попыток не больше $10+9+8+\ldots+2+1=55$, другой сотрудник предложил ещё уменьшить число попыток, поскольку если ключ не подошёл к 9 чемоданам, то уж к десятому он точно подойдёт. Значит, число попыток не больше $9+8+\ldots+1=45$. Кроме того, он заявил, что так произойдёт только в самом неудачном случае — тогда, когда каждый раз ключ будет подходить к последнему чемодану. Нужно рассчитывать, что в реальности число попыток будет равно примерно половине наибольшего возможного числа попыток, то есть 22,5.
Игорь Федорович Акулич из Минска задумался, по какой такой причине среднее число попыток равно половине числа 45? Ведь последняя попытка не нужна, только если ключ не подошёл ни к одному чемодану, кроме последнего, а во всех других случаях последняя удачная попытка тоже имеет место. Акулич предположил, что утверждение про 22,5 попыток голословное, и на самом деле всё немного не так.
Задача. Найдите математическое ожидание числа попыток (считаются все попытки открыть чемоданы — неудачные и удачные, в том случае, когда нет ясности).

По очень длинному узкому шоссе, на котором невозможен обгон, в случайном порядке едут $n$ автомобилей, каждый со своей излюбленной скоростью. Если быстрая машина догоняет медленную, то быстрой приходится замедлиться и ехать с той же скоростью, что и медленная. Таким образом, машины сбиваются в группы. Найдите математическое ожидание числа «одиноких» машин, то есть групп, состоящих из одной машины.

В самолёт было загружено 200 чемоданов. После полёта пассажиры встречают свои чемоданы на ленте транспортёра. Как только транспортёр заработал, грузчик начал класть на него чемоданы по одному через каждые две секунды в случайном порядке (как привезли). Среди пассажиров группа бизнесменов, которые ждут 10 своих чемоданов.
а) Найдите вероятность того, что после запуска транспортёра бизнесменам придется ждать свой последний чемодан ровно две минуты.
б) Найдите математическое ожидание случайной величины «время, которое бизнесменам придётся ожидать последний чемодан».

Последовательность состоит из 19 единиц и 49 нулей, стоящих в случайном порядке. Назовём группой максимальную подпоследовательность из одинаковых символов. Например, в последовательности 110001001111 пять групп: две единицы, потом три нуля, потом одна единица, потом два нуля и, наконец, четыре единицы. Найдите математическое ожидание длины первой группы.

По будням Рассеянный Учёный едет на работу по кольцевой линии московского метро от станции «Таганская» до станции «Киевская», а вечером — обратно (см. схему).

Войдя на станцию, Учёный садится в первый же подошедший поезд. Известно, что в обоих направлениях поезда ходят с примерно равными интервалами, причём по северному маршруту (через «Белорусскую») поезд идёт от «Киевской» до «Таганской» или обратно 17 минут, а по южному маршруту (через «Павелецкую») — 11 минут.
По давней привычке Учёный всё всегда подсчитывает. Однажды он подсчитал, что по многолетним наблюдениям:

• поезд, идущий против часовой стрелки, приходит на «Киевскую» в среднем через 1 минуту 15 секунд после того, как на неё приходит поезд, идущий по часовой стрелке. То же верно и для «Таганской»;
• на поездку из дома на работу Учёный в среднем тратит на 1 минуту меньше, чем на поездку с работы домой.

Найдите математическое ожидание интервала между поездами, идущими в одном направлении.

Высокий прямоугольник ширины 2 открыт сверху, и в него падают в случайной ориентации Г-тримино (см. рисунок).

а) Упало $k$ тримино. Найдите математическое ожидание высоты получившегося многоугольника.
б) Упало 7 тримино. Найдите вероятность того, что сложенная из тримино фигура будет иметь высоту 12.

Благородные девицы пошли в театр. Девиц всего $n$, и билеты у всех на один ряд, в котором ровно $n$ кресел. Если девице, чтобы занять свое место, нужно пройти мимо уже сидящей девицы, то последняя должна вежливо встать, чтобы пропустить подругу.
а) Найдите математическое ожидание числа вставаний.
б) Найдите математическое ожидание числа тех, кому не придётся встать ни разу.

Пять игральных костей бросают одновременно. Такой одновременный бросок нескольких костей будем называть залпом. Те кости, на которых выпали шестёрки, откладывают в сторону. А остальные бросают ещё раз — опять залпом. Те, что на второй раз не выпали шестёрками, бросают ещё раз и так далее, пока на всех костях не выпадут шестёрки.
а) Найдите математическое ожидание общего числа брошенных костей.
б) Найдите математическое ожидание общего числа очков, выпавших к моменту, когда все кости выпали шестёрками.
в) Найдите математическое ожидание числа залпов.

На столе разложена колода игральных карт (например, в ряд). Поверх каждой карты положили карту другой колоды. Некоторые карты, возможно, совпали. Найдите:
а) математическое ожидание числа совпадений;
б) дисперсию числа совпадений.