Найдите все такие пары различных действительных чисел $x$ и $y$, что $x^{100}-y^{100}=2^{99}(x-y)$ и $x^{200}-y^{200}=2^{199}(x-y)$.
Ответ:
Решение:
На доске написано 100 чисел. Оказалось, что произведение любых двух написанных чисел равно сумме всех остальных. Чему может быть равна сумма всех написанных чисел?
Ответ:
Решение:
Действительные числа $x$ и $y$ таковы, что \[\frac{9x}{y}=xy=2x+4y.\] Какое наибольшее значение может принимать $x$?
Ответ:
Решение:
Решить систему уравнений \[\begin{cases}(2x-y)^2=4+z^2,\\ (z-y)^2=2+4x^2,\\ (z+2x)^2=3+y^2.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Решить систему уравнений \[\begin{cases}x^3+y^3-z^3-xyz+11=0,\\ x^3-y^3+z^3-xyz-21=0,\\ y^3+z^3-x^3-xyz-3=0.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Решить систему уравнений \[\begin{cases}5x-6y+4z+xy=0,\\ 3x-5y+z-y^2=0,\\ x-4y-2z-yz=0.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Решите систему \[ \begin{cases} 2x-3y+\dfrac{1}{xy}=6,\\ 3z-6x+\dfrac{1}{xz}=2,\\ 6y-2z+\dfrac{1}{yz}=3. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Найдите количество точек на координатной плоскости, через которые проходит как кривая $(4x^3-3x)^{15}=1-(4y^3-3y)^{16}$, так и кривая $x^2=1-y^2$.
Ответ:
Решение:
Решите систему уравнений \[\begin{cases} x^2-2xy+y^3-3y^2-1=0,\\ 2x-xy-y^3+5y^2-3y+2=0.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Числа $x$, $y$ и $z$ не все равны между собой, и при этом \[ x^3+\frac{7}{y^3}=y^3+\frac{7}{z^3}=z^3+\frac{7}{x^3}. \] Найдите минимально возможное значение произведения $xyz$.
Ответ:
Решение:
Числа $a$, $b$ и $c$ не все равны между собой, и при этом \[a+\dfrac5b=b+\dfrac5c=c+\dfrac5a.\] Найдите минимально возможное значение произведения $abc$.
Ответ:
Решение:
Решите систему \[ \begin{cases} |x-3-y|+|x-3+y|\leqslant6,\\ (|x|-3)^2+(|y|-4)^2=25. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Решите систему уравнений \[ \begin{cases} x^2-y^2=2x+4y-3z,\\ y^2-z^2=x-3y+4z,\\ z^2-x^2=-3x+y-5z. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Найти действительные решения системы уравнений \[\begin{cases} 2xy+\dfrac{3}{z}+3=0,\\ yz+\dfrac{4}{x}-2=0,\\ xz+\dfrac{2}{y}+2=0.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Решить систему уравнений \[\begin{cases} \dfrac{x^2}{y^2}(1+y)=2x+3y,\\ x^2+2xy=x-y^2.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Решить систему уравнений \[ \begin{cases} x^2+xy-2y^2+8x+10y+12=0,\\ x^2+3xy+2y^2-x+y-6=0. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Про действительные числа $a, b, c$ известно, что\[\begin{cases}ac-3=4b^2,\\2bc-3=a^2.\end{cases}\]Найдите все значения, чему может быть равно $ab$.
Ответ:
Решение:
Решите систему уравнений\[\begin{cases}12x^2+4xy+3y^2+16x=-6,\\4x^2-12xy+y^2+12x-10y=-7.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Решите систему уравнений \[ \begin{cases} x^2=(y-z)^2-3,\\ y^2=(z-x)^2-7,\\ z^2=(x-y)^2+21. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Решите систему уравнений \[ \begin{cases} x^2=y+z,\\ y^2=z+x,\\ z^2=x+y \end{cases} \] при условии $x,y,z\gt 0$. В ответе укажите: если решений нет, то $0$, если решение одно — произведение $xyz$, если решений несколько — сумму произведений $xyz$ для каждого решения.
Ответ:
Решение: