Решите неравенство \[ x^{\log_3 x}-2\leqslant\left(\sqrt[3]{3}\right)^{\log^2_{\sqrt3}x}-2\cdot x^{\log_3\sqrt[3]{x}}. \]
Ответ:
Решение:
Решите неравенство \[ \left|2^{\sqrt{x-1}-1}-1\right|+\dfrac{5}{3}\leqslant\dfrac{2^{\sqrt{x-1}+3}}{3}-4^{\sqrt{x-1}-\frac{1}{2}}. \]
Ответ:
Решение:
Решите неравенство \[ \arcsin\Bigl(\dfrac{5}{2\pi}\arccos x\Bigr)\gt \arccos\Bigl(\dfrac{10}{3\pi}\arcsin x\Bigr). \]
Ответ:
Решение:
Решите неравенство $\left(8x^3+4x^2-18x-9\right)\cdot\arccos(x-1)\leqslant\arccos\left(\frac{1}{4\cos40^\circ}+\frac{\sqrt3}{4\cos50^\circ}\right)$.
Ответ:
Решение:
Решите неравенство \[ \left(18x^3-9x^2-2x+1\right)\cdot\arccos(-2x-1)\geqslant\arccos\left(\frac{1}{4\sin50^\circ}+\frac{\sqrt3}{4\sin40^\circ}\right). \]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Решите неравенство \[ 2\sqrt{x^2}\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{\pi}{6x^2}+\frac{\pi}{2}\geqslant\frac{\pi}{3}|x|-\left(\frac{1}{x^2}-3\right)\arcsin\left(\frac{x}{2}\right). \] В ответ запишите сумму всех целых значений $x$, удовлетворяющих этому неравенству.
Ответ:
Решение:
Каждый отрезок с концами в вершинах правильного 100-угольника покрасили — в красный цвет, если между его концами четное число вершин, и в синий — в противном случае (в частности, все стороны 100-угольника красные). В вершинах расставили числа, сумма квадратов которых равна 1, а на отрезках — произведения чисел в концах. Затем из суммы чисел на красных отрезках вычли сумму чисел на синих. Какое наибольшее число могло получиться?
Ответ:
Решение:
На окружности через равные промежутки отметили $400$ точек и провели все возможные хорды между ними. Хорду с концами в отмеченных точках назовем «чётной», если на большей дуге, которую она стягивает, лежит чётное число точек. В противном случае хорда «нечётная». Рядом с каждой вершиной написано число. Сумма квадратов этих чисел равна $100$. На каждой хорде написано произведение чисел, стоящих на её концах. Сумма чисел на «чётных» хордах равна $a$, сумма чисел на «нечётных» хордах равна $b$. Найдите наибольшее возможное значение величины $a-b$.
Ответ:
Решение:
Наименьшее значение функции\[\sqrt{x_1^2+1^2}+\sqrt{x_2^2+2^2}+\sqrt{x_3^2+3^2}+\ldots+\sqrt{x_{2023}^2+2023^2}\]для неотрицательных $x_1, x_2, \ldots, x_{2023}$, сумма которых равна $k$, равно $2023\cdot 2024$. При каком значении параметра $k$ такое возможно?
Ответ:
Решение:
Посылка должна быть упакована в ящик в форме прямоугольного параллелепипеда и перевязана один раз вдоль и два раза поперёк (см. рисунок). Можно ли отправить посылку объёма $63$ дм$^3$, имея $4{,}32$ м верёвки (толщиной стенок ящика и уходящей на узлы верёвкой пренебречь)?
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее значение выражения \[ \sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{(a-3)^2+(b-3)^2}+2\sqrt{(a-3)^2+(b+1)^2}+2\sqrt{(a+1)^2+(b-3)^2}. \]
Ответ:
Решение:
Найти наибольшее значение выражения \[2\arccos(\sin(x-2y-1))+x-y+2\] при $0\leqslant x\leqslant\pi$, $0\leqslant y\leqslant\frac{\pi}{2}$.
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее значение выражения \[ M=|b|+|5a-b|+|2a+b-3|, \] где $a$ и $b$ — действительные числа. При каких $a$ и $b$ оно достигается?
Ответ:
Решение:
Известно, что для положительных чисел $a$, $b$, $c$ каждое из трёх уравнений \[ ax^2+15bx+c=0,\quad bx^2+15cx+a=0,\quad cx^2+15ax+b=0 \] имеет хотя бы один действительный корень. Каково наименьшее значение произведения корней второго уравнения, если произведение корней первого уравнения равно 27? (Если уравнение имеет два совпадающих корня, то произведение считается равным квадрату этого корня.)
Ответ:
Решение:
Число $b$ таково, что неравенство $\frac{a_1}{2a_2^2}+\frac{16a_3^4}{a_4^6}\geqslant b$ выполняется для всех натуральных чисел $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$, удовлетворяющих неравенствам $a_1\leqslant a_2\leqslant a_3\leqslant a_4\leqslant100$. Найдите наибольшее значение $b$.
Ответ:
Решение: