Найдите наименьшее значение выражения\[\frac{1}{1-x^2}+\frac{4}{4-y^2}\]при условиях $|x|\lt 1$, $|y|\lt 2$ и $xy=1$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Найдите минимальное значение выражения\[\frac{2bc-2a^2+2a}{2a}+\frac{2ca-2b^2+2b}{2b}+\frac{2ab-2c^2+2c}{2c},\qquad a,b,c\gt 0.\]
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее значение произведения \[ \operatorname{tg}x\operatorname{tg}y\operatorname{tg}z, \] где \[ 0\lt x,y,z\lt \frac{\pi}{2},\quad x+y+z=\frac{\pi}{2}. \]
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее значение выражения \[ \left(\frac1x+\frac1y\right)^2-3\cdot\left(\frac xy+\frac yx\right)+(x+y)^2 \] при условии, что \[ \frac1x+\frac1y=3. \]
Ответ:
Решение:
Будем обозначать $\max(A,B,C)$ наибольшее из чисел $A$, $B$, $C$. Найдите наименьшее значение величины \[ \max\left(x^2+|y|,\ (x+2)^2+|y|,\ x^2+|y-1|\right). \]
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее значение функции \[ f(x,y)=\frac{2015(x+y)}{\sqrt{2015x^2+2015y^2}} \] и укажите все пары $(x,y)$, при которых оно достигается.
Ответ:
Решение:
Найдите минимальное значение выражения \[ \sqrt{(x+6)^2+y^2}+\sqrt{x^2+(y-4)^2} \] при условии $2|x|+3|y|=6$.
Ответ:
Решение:
Найдите количество натуральных делителей наибольшего целого значения выражения \[ xyz+xy+yz+zx+2023, \] если сумма неотрицательных чисел $x$, $y$ и $z$ равна 2022.
Ответ:
Решение:
При каких положительных значениях $a$, $b$ и $c$ достигается наибольшее значение выражения \[ \frac{abc}{(1+a)(a+b)(b+c)(c+16)}? \]
Ответ:
Решение:
При каких положительных значениях $a$ и $b$ достигается наибольшее значение выражения \[ \dfrac{ab}{(1+a)(a+b)(b+8)}? \]
Ответ:
Решение:
Пусть $x$ и $y$ удовлетворяют системе \[ \begin{cases} y-x\leqslant5,\\ y+4x\leqslant-5,\\ 3y+2x\geqslant-5. \end{cases} \] Найдите все значения, которые может принимать функция $x^2+y^2$.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения, которые может принимать выражение\[3\arcsin x-2\arccos y\]при условии $x^2+y^2=1$.
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее значение выражения $\frac{3f(1)+6f(0)-f(-1)}{f(0)-f(-2)}$, если $f(x)=ax^2+bx+c$ — произвольная квадратичная функция, удовлетворяющая условию $b\gt 2a$ и принимающая неотрицательные значения при всех действительных $x$.
Ответ:
Решение:
Число $b$ таково, что неравенство $\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_3}{a_4}+\frac{a_5}{a_6}+\frac{a_7}{a_8}\geqslant b$ выполняется для всех натуральных чисел $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7, a_8$, удовлетворяющих неравенствам $a_n\leqslant a_{n+1}$, $n=1,\ldots,8$, $a_8\leqslant 81$. Найдите наибольшее значение $b$.
Ответ:
Решение:
Число $b$ таково, что неравенство $\frac{a_1}{2a_2^2}+\frac{16a_3^4}{a_4^6}\geqslant b$ выполняется для всех натуральных чисел $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$, удовлетворяющих неравенствам $a_1\leqslant a_2\leqslant a_3\leqslant a_4\leqslant100$. Найдите наибольшее значение $b$.
Ответ:
Решение:
Известно, что для положительных чисел $a$, $b$, $c$ каждое из трёх уравнений \[ ax^2+15bx+c=0,\quad bx^2+15cx+a=0,\quad cx^2+15ax+b=0 \] имеет хотя бы один действительный корень. Каково наименьшее значение произведения корней второго уравнения, если произведение корней первого уравнения равно 27? (Если уравнение имеет два совпадающих корня, то произведение считается равным квадрату этого корня.)
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее значение выражения \[ M=|b|+|5a-b|+|2a+b-3|, \] где $a$ и $b$ — действительные числа. При каких $a$ и $b$ оно достигается?
Ответ:
Решение:
Найти наибольшее значение выражения \[2\arccos(\sin(x-2y-1))+x-y+2\] при $0\leqslant x\leqslant\pi$, $0\leqslant y\leqslant\frac{\pi}{2}$.
Ответ:
Решение: