Число $m$ называется медианой числового набора, если выполняются два условия. 1. Хотя бы половина чисел в наборе не меньше числа $m$. 2. Хотя бы половина чисел в наборе не больше числа $m$.
Даны два числовых набора, у каждого из которых число 3 — медиана. Докажите, что если объединить эти наборы, то у получившегося набора число 3 тоже будет медианой.
Даны два числовых набора, у каждого из которых число 3 — медиана. Докажите, что если объединить эти наборы, то у получившегося набора число 3 тоже будет медианой.
Ответ:
Решение:
В двух классах (всего 40 школьников) проводилась проверочная работа. В работе было 10 заданий. Каждое верно решённое задание даёт школьнику 1 балл. Диаграмма показывает распределение баллов: столбики показывают, сколько школьников получили 0 баллов, 1 балл и так далее.
Какие выводы можно сделать? (Отметьте безусловно верные утверждения.) 1. Меньше половины школьников получили менее 6 баллов. 2. С задачей № 8 справились ровно четыре человека. 3. По крайней мере половина участников получили не менее 6 баллов. 4. Найдутся два школьника, которые решили все задачи. 5. Найдутся по крайней мере два школьника, решившие задачу № 2.
Какие выводы можно сделать? (Отметьте безусловно верные утверждения.) 1. Меньше половины школьников получили менее 6 баллов. 2. С задачей № 8 справились ровно четыре человека. 3. По крайней мере половина участников получили не менее 6 баллов. 4. Найдутся два школьника, которые решили все задачи. 5. Найдутся по крайней мере два школьника, решившие задачу № 2.
Ответ:
Решение:
Средним арифметическим числового набора называется отношение суммы всех чисел набора к количеству чисел в наборе.
Даны два числовых набора, у первого среднее арифметическое равно 2, а у второго среднее арифметическое равно 5. Докажите, что если объединить эти наборы, то среднее арифметическое получившегося набора будет больше 2, но меньше 5.
Даны два числовых набора, у первого среднее арифметическое равно 2, а у второго среднее арифметическое равно 5. Докажите, что если объединить эти наборы, то среднее арифметическое получившегося набора будет больше 2, но меньше 5.
Ответ:
Решение:
Числовой набор удовлетворяет следующим четырём условиям:
б) Какое наименьшее количество чисел может быть в таком наборе?
- количество чисел в наборе нечётное;
- наибольшее значение равно 13;
- медиана набора равна 2;
- среднее арифметическое чисел набора равно 7.
б) Какое наименьшее количество чисел может быть в таком наборе?
Ответ:
Решение:
Числовой набор удовлетворяет следующим четырём условиям:
б) Какое наименьшее количество чисел может быть в таком наборе?
- количество чисел в наборе нечётное;
- наименьшее значение равно 1;
- медиана набора равна 10;
- среднее арифметическое чисел набора равно 6.
б) Какое наименьшее количество чисел может быть в таком наборе?
Ответ:
Решение:
Географическое общество Анчурии (GSA) отправило экспедицию, цель которой — измерение протяжённости русла великой анчурийской реки Рио-Коралио. Оказалось, что протяжённость русла от истока до устья равна 402 км плюс-минус 500 м, при этом вероятность ошибки равна 0,04, причём ошибки в большую или меньшую сторону равновероятны.
Независимо от GSA агентство AWRA («Анчурийские водные ресурсы») провело своё исследование на эту тему. Результат: 403 км плюс-минус 500 м. Вероятность ошибки также равна 0,04, и, опять же, ошибки в большую и меньшую сторону равновероятны.
Когда результаты опросов сравнили и убедились, что ошибок в методах и в измерениях нет, президент GSA и директор AWRA совместно обратились к Рассеянному Учёному, который является признанным экспертом в области статистики, чтобы он объяснил расхождение. Учёный обрадовался и сказал: «Теперь я точно знаю протяженность Рио-Коралио с малой вероятностью ошибки». Как он мог рассуждать? Найдите оценку и вероятность ошибки.
Независимо от GSA агентство AWRA («Анчурийские водные ресурсы») провело своё исследование на эту тему. Результат: 403 км плюс-минус 500 м. Вероятность ошибки также равна 0,04, и, опять же, ошибки в большую и меньшую сторону равновероятны.
Когда результаты опросов сравнили и убедились, что ошибок в методах и в измерениях нет, президент GSA и директор AWRA совместно обратились к Рассеянному Учёному, который является признанным экспертом в области статистики, чтобы он объяснил расхождение. Учёный обрадовался и сказал: «Теперь я точно знаю протяженность Рио-Коралио с малой вероятностью ошибки». Как он мог рассуждать? Найдите оценку и вероятность ошибки.
Ответ:
Решение:
Стоимость проезда по участку платной автодороги зависит от класса автомобиля: легковые автомобили относятся к первому классу, для них стоимость проезда 200 рублей, а лёгкие грузовые и микроавтобусы — ко второму, для них стоимость 300 рублей.
При въезде на пункт оплаты установлена автоматическая система, измеряющая высоту автомобиля. Если высота машины меньше некоторого порогового значения $h$, то система автоматически относит его к классу 1, а если выше $h$, то к классу 2. При этом возможны ошибки. Например, низенький микроавтобус система может отнести к классу 1, и его водитель будет доволен. Легковой УАЗ может быть ошибочно отнесён к классу 2, и его водитель будет этому не рад. Он может подать заявку, и компания-оператор будет должна вернуть ему 100 рублей.
Руководство компании поставило перед инженерами задачу: настроить систему так, чтобы количество ошибок было наименьшим.
Несколько недель инженеры собирали данные о высоте автомобилей, проходящих через пункт оплаты. Отдельно — о машинах класса 1 и отдельно — о машинах класса 2 (см. рисунок). На оси абсцисс отложена высота автомобиля (в см), на оси ординат — среднее количество машин такой высоты, проходящих через пункт за сутки. Для наглядности точки соединены плавной линией.
Графики — количество машин класса 1 и класса 2 в сутки
Собрав всю эту информацию и начертив графики, инженеры стали думать, что делать дальше: как определить пороговое значение $h$, чтобы вероятность ошибки оказалась наименьшей возможной? Решите эту задачу для них.
При въезде на пункт оплаты установлена автоматическая система, измеряющая высоту автомобиля. Если высота машины меньше некоторого порогового значения $h$, то система автоматически относит его к классу 1, а если выше $h$, то к классу 2. При этом возможны ошибки. Например, низенький микроавтобус система может отнести к классу 1, и его водитель будет доволен. Легковой УАЗ может быть ошибочно отнесён к классу 2, и его водитель будет этому не рад. Он может подать заявку, и компания-оператор будет должна вернуть ему 100 рублей.
Руководство компании поставило перед инженерами задачу: настроить систему так, чтобы количество ошибок было наименьшим.
Несколько недель инженеры собирали данные о высоте автомобилей, проходящих через пункт оплаты. Отдельно — о машинах класса 1 и отдельно — о машинах класса 2 (см. рисунок). На оси абсцисс отложена высота автомобиля (в см), на оси ординат — среднее количество машин такой высоты, проходящих через пункт за сутки. Для наглядности точки соединены плавной линией.
Графики — количество машин класса 1 и класса 2 в сутки
Собрав всю эту информацию и начертив графики, инженеры стали думать, что делать дальше: как определить пороговое значение $h$, чтобы вероятность ошибки оказалась наименьшей возможной? Решите эту задачу для них.
Ответ:
Решение:
Для представления целых чисел или десятичных дробей часто используется специальный вид диаграмм «стебель-листья». На таких диаграммах удобно изображать возраст людей. Предположим, что в изучаемой группе 5 человек, которым 19, 34, 37, 42 и 48 лет. Для этой группы диаграмма будет выглядеть, как показано на рис. 2. Левый столбец — «стебель», а вправо от него идут «листья».
Рис. 2
Изучая некоторую группу пациентов, 1 декабря врач составил диаграмму их возрастов (рис. 3 а). На рис. 3 б) показана новая диаграмма их возрастов, которая была составлена также 1 декабря по прошествии нескольких лет. За эти годы состав группы остался прежним — в ней остались все, кто был, и никто новый в эту группу не вошёл. Но цифр на новой диаграмме не видно — вместо них звёздочки. Определите, сколько лет прошло, и восстановите диаграмму.
Английское название — Stem-and-Leaf plot.
Рис. 2
Изучая некоторую группу пациентов, 1 декабря врач составил диаграмму их возрастов (рис. 3 а). На рис. 3 б) показана новая диаграмма их возрастов, которая была составлена также 1 декабря по прошествии нескольких лет. За эти годы состав группы остался прежним — в ней остались все, кто был, и никто новый в эту группу не вошёл. Но цифр на новой диаграмме не видно — вместо них звёздочки. Определите, сколько лет прошло, и восстановите диаграмму.
Английское название — Stem-and-Leaf plot.
Ответ:
Решение:
В числовом наборе медиана равна 3, среднее арифметическое равно 5, а единственная мода набора равна 6. Какое наименьшее количество чисел может быть в наборе, обладающем указанными свойствами?
Модой называется число, которое встречается в наборе больше раз, чем любое другое.
Модой называется число, которое встречается в наборе больше раз, чем любое другое.
Ответ:
Решение:
На хлебозаводе дозирующий автомат отмеряет порции теста массой 400 г. Для проверки оборудования инженер взвесил 10 случайных порций, отмеренных автоматом. Результаты он записал в блокнот, но некоторые цифры стёрлись, и их невозможно прочитать. Мы перенесли в таблицу всё, что удалось восстановить, а нечитаемые цифры заменили знаком вопроса.
Принято правило: если стандартное отклонение сделанных измерений превосходит 10 % номинальной массы порции, то дозирующий автомат требует ремонта. Определите, требует ли ремонта данный автомат.
| Номер порции | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | Средняя масса |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Масса, г | 367 | 364 | 421 | 38? | 438 | 40? | 39? | 378 | 41? | 422 | 399 |
Ответ:
Решение:
На хлебозаводе дозирующий автомат отмеряет порции теста массой 400 г. Для проверки оборудования инженер взвесил 10 случайных порций, отмеренных автоматом. Результаты он записал в блокнот, но некоторые цифры стёрлись, и их невозможно прочитать. Мы перенесли в таблицу всё, что удалось восстановить, а нечитаемые цифры заменили знаком вопроса.
Принято правило: если стандартное отклонение сделанных измерений превосходит 10 % номинальной массы порции, то дозирующий автомат требует ремонта. Определите, требует ли ремонта данный автомат.
| Номер порции | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | Средняя масса |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Масса, г | 366 | 426 | 38? | 438 | 41? | 39? | 40? | 377 | 374 | 423 | 401 |
Ответ:
Решение:
При испытании нового учебника по математике в эксперименте приняли участие примерно одинаковые по численности параллели седьмых классов из двух школ. В каждой школе часть семиклассников училась по экспериментальному учебнику, а часть — по обычному старому учебнику. В конце учебного года был проведен итоговый тест, который показал, насколько хорошо семиклассники освоили учебный материал.
Результаты теста в 1-й школе
Результаты теста во 2-й школе
В обеих школах доля тех, кто выполнил тест хорошо, оказалась выше в группе тех, кто учился по экспериментальному учебнику. Поэтому был сделан вывод, что новый учебник обеспечивает более высокое качество образования.
Только Рассеянный Учёный выступил против нового учебника и ко всеобщему удивлению заявил, что те, кто учился по новому учебнику, сдали тест в среднем хуже, чем те, кто учился по старому.
Кто прав?
Результаты теста в 1-й школе
| Учились по экспериментальному учебнику | Учились по обычному учебнику | |
|---|---|---|
| Выполнили тест хорошо | 30 % | 15 % |
| Выполнили тест плохо | 35 % | 20 % |
| Доля тех, кто выполнил хорошо | $0{,}46$ | $0{,}43$ |
| Учились по экспериментальному учебнику | Учились по обычному учебнику | |
|---|---|---|
| Выполнили тест хорошо | 20 % | 45 % |
| Выполнили тест плохо | 10 % | 25 % |
| Доля тех, кто выполнил тест хорошо | $0{,}67$ | $0{,}64$ |
Только Рассеянный Учёный выступил против нового учебника и ко всеобщему удивлению заявил, что те, кто учился по новому учебнику, сдали тест в среднем хуже, чем те, кто учился по старому.
Кто прав?
Ответ:
Решение:
Приведите пример числового набора, который удовлетворяет трём следующим условиям.
1) В наборе пять чисел. 2) Среднее арифметическое набора больше, чем медиана. 3) Из этого набора можно удалить число так, что среднее арифметическое оставшихся чисел станет меньше любой медианы оставшихся чисел.
Примечание. Медианой числового набора, в котором чётное количество чисел, является любое число из отрезка, заключённого между двумя центральными числами. Например, медианой набора 1, 2, 3, 4 является любое число из отрезка от 2 до 3.
1) В наборе пять чисел. 2) Среднее арифметическое набора больше, чем медиана. 3) Из этого набора можно удалить число так, что среднее арифметическое оставшихся чисел станет меньше любой медианы оставшихся чисел.
Примечание. Медианой числового набора, в котором чётное количество чисел, является любое число из отрезка, заключённого между двумя центральными числами. Например, медианой набора 1, 2, 3, 4 является любое число из отрезка от 2 до 3.
Ответ:
Решение:
В понедельник 15 ноября Сергей разместил на своей странице в соцсети фотографию своего кота. Диаграмма показывает, сколько лайков это фото получило за 10 дней, но подписи на вертикальной оси отсутствуют. Известно, что в четверг 18 ноября лайков было на четыре меньше, чем накануне. Среднее количество лайков за все дни оказалось 19. Сколько лайков получило фото в воскресенье 21 ноября?
Ответ:
Решение:
Приведите пример числового набора, который удовлетворяет трём следующим условиям.
1) В наборе шесть чисел. 2) Среднее арифметическое набора меньше, чем любая его медиана. 3) Из этого набора можно удалить число так, что среднее арифметическое оставшихся чисел станет больше медианы.
Примечание. Медианой числового набора, в котором чётное количество чисел, является любое число из отрезка, заключённого между двумя центральными числами. Например, медианой набора 1, 2, 3, 4 является любое число из отрезка от 2 до 3.
1) В наборе шесть чисел. 2) Среднее арифметическое набора меньше, чем любая его медиана. 3) Из этого набора можно удалить число так, что среднее арифметическое оставшихся чисел станет больше медианы.
Примечание. Медианой числового набора, в котором чётное количество чисел, является любое число из отрезка, заключённого между двумя центральными числами. Например, медианой набора 1, 2, 3, 4 является любое число из отрезка от 2 до 3.
Ответ:
Решение:
В понедельник 8 ноября Сергей разместил на своей странице в соцсети фотографию своего хомяка. Диаграмма показывает, сколько лайков это фото получило за 10 дней, но подписи на вертикальной оси отсутствуют. Известно, что в воскресенье 14 ноября лайков было на девять больше, чем накануне. Среднее количество лайков за все дни оказалось 20. Сколько лайков получило фото во вторник 16 ноября?
Ответ:
Решение:
Гистограмма (рис. 1) показывает распределение вагонов пассажирского состава по количеству пассажиров (в 4 % вагонов пассажиров от 10 до 19, в 6 % вагонов — от 20 до 29 и т.д.). Если в вагоне 60 пассажиров или больше, то назовем такой вагон переполненным.
Распределение вагонов по числу пассажиров
а) Найдите долю переполненных вагонов.
б) Найдите наименьшую возможную долю пассажиров, едущих в переполненных вагонах.
в) Может ли доля пассажиров, едущих в переполненных вагонах, быть меньше доли переполненных вагонов?
Распределение вагонов по числу пассажиров
а) Найдите долю переполненных вагонов.
б) Найдите наименьшую возможную долю пассажиров, едущих в переполненных вагонах.
в) Может ли доля пассажиров, едущих в переполненных вагонах, быть меньше доли переполненных вагонов?
Ответ:
Решение:
В каждом из пяти городов Анчурии имеется метрополитен. На рисунке показаны схемы линий метро в этих пяти городах. Некоторые сведения о метрополитенах Анчурии даны в таблице. Определите, к какому городу относится каждая схема.
Метрополитены в городах Анчурии
Метрополитены в городах Анчурии
| Город | Общая протяженность линий, км | Количество станций | Пассажиропоток в день, тыс. чел. | Средняя длина перегона между соседними станциями, км |
|---|---|---|---|---|
| Сан-Матео | 39 | 20 | 100 | 1,5 |
| Коралио | 15 | 9 | 22 | 1,5 |
| Аласан | 16 | 9 | 20 | 2 |
| Альфоран | 18 | 9 | 30 | 2 |
| Солитас | 14 | 8 | 25 | 2 |
Ответ:
Решение:
У студентов одного курса факультета инновационных исследований в среднем 22,425 однокурсниц. Сколько на этом курсе девушек?
Ответ:
Решение:
Рассеянный Ученый пишет статью о девяти горных вершинах Анчурии для Большой Анчурийской энциклопедии. Он уже собрал некоторые данные и занес их в таблицу.
Табл. Горные вершины Анчурии
Ученый хотел составить диаграмму высот вершин, но по рассеянности несколько раз ошибся. В результате у него четыре диаграммы, одна из них правильная, но он совершенно запутался и не знает какая. Найдите высоту пика Мирафлореса.
Табл. Горные вершины Анчурии
| № | Горная вершина | № | Горная вершина | № | Горная вершина |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Пик Оливарры | 4 | Этвуд | 7 | Пик Доусона |
| 2 | Пик Гудвина | 5 | Пик Мирафлореса | 8 | Блайт-Вельзевул |
| 3 | Кьоу | 6 | Монте-Паса | 9 | Каррера |
| Макс. высота | 2950 м | Мин. высота | 1060 м | Средняя высота | 1968 м |
| Медиана высот | 1465 м |
Ответ:
Решение: