Найдите решения уравнения \[ \dfrac{\cos x}{\cos 3x}-\dfrac{\cos 5x}{\cos x}=8\sin x\sin 3x, \] удовлетворяющие неравенству $\sin x\geqslant 0$.
Ответ:
Решение:
Решите уравнение \[ \dfrac{\cos x\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{6\cos^2x+4\sin^2x-5}+\dfrac{\cos x\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)}{5-4\cos^2x-6\sin^2x}=-\dfrac{\sqrt{3}\operatorname{tg}2x}{2}. \]
Ответ:
Решение:
Решите уравнение \[ \dfrac{\sin x}{\sin x-\cos x}=\sqrt{3}\left(\dfrac{\cos x}{\sin x+\cos x}+\operatorname{tg}2x\right). \]
Ответ:
Решение:
Пусть \[ \dfrac{21-16\sin^2x+8\cos x}{16\cos^2x-29-8\sqrt{15}\sin x}=2. \] Какое наибольшее значение может принимать $7\cos x$?
Ответ:
Решение:
Решите уравнение \[ \frac{\cos 8x}{\cos 3x+\sin 3x}+\frac{\sin 8x}{\cos 3x-\sin 3x}=\sqrt2. \]
Ответ:
Решение:
Найти наименьшую длину отрезка числовой оси, содержащего три различных решения уравнения \[ \cos 2x-\sin 2x-\operatorname{ctg}2x\cdot\sin x+\sin x=0. \]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Решить уравнение \[\dfrac{\sin x}{\cos 2x\cos 3x}+\dfrac{\sin x}{\cos 3x\cos 4x}=\sin 4x-\mathrm{tg}\,2x.\]
Ответ:
Решение:
Решить уравнение \[\dfrac{\sin\frac{x}{2}\sin\frac{3x}{2}}{\cos x\cos 2x}+\dfrac{\sin\frac{x}{2}\sin\frac{5x}{2}}{\cos 2x\cos 3x}=\dfrac{2\sin x\sin 2x}{\cos x\cos 3x}-\dfrac{1}{4\cos 3x}.\]
Ответ:
Решение:
Решить уравнение \[\dfrac{\operatorname{tg}x}{2}+\dfrac{1}{\sin x}=\dfrac{1}{\sin3x}-\dfrac{\operatorname{ctg}x}{2}.\]
Ответ:
Решение:
Сколько различных решений на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$ имеет уравнение \[6\sqrt{2}\cos x\operatorname{ctg}x-2\sqrt{2}\operatorname{ctg}x+3\cos x-1=0\,?\] Найдите эти решения.
Ответ:
Решение:
Найдите наименьший корень уравнения \[ \operatorname{ctg}6x-\operatorname{tg}5x=\dfrac{1}{\cos 5x}, \] принадлежащий отрезку $\left[\dfrac{8\pi}{17};\dfrac{40\pi}{17}\right]$.
Ответ:
Решение:
Найдите все решения уравнения \[ \cos^3(\pi x)+\cos^3(2\pi x)-\cos^3(4\pi x)=\left(\cos(\pi x)+\cos(2\pi x)-\cos(4\pi x)\right)^3, \] принадлежащие отрезку $[0{,}3;\,1{,}6]$.
Ответ:
Решение:
Определите, сколько корней на промежутке $[-\pi;\pi]$ имеет уравнение \[\frac{2\cos4x+1}{2\cos x-\sqrt{3}}=\frac{2\sin4x-\sqrt{3}}{2\sin x-1}\,,\] и найдите эти корни.
Ответ:
Решение:
Решите уравнение \[ 36\cos(x+\cos x)\cos(x-\cos x)+9=\pi^2 \] и найдите сумму его корней, принадлежащих отрезку $\left[\dfrac{\pi}{3};\dfrac{7\pi}{4}\right]$.
Ответ:
Решение:
Найдите сумму всех корней уравнения \[ 2\cos3x+8|\sin x|-7=0, \] принадлежащих отрезку $\left[-\dfrac{2\pi}{3};\dfrac{3\pi}{4}\right]$.
Ответ:
Решение:
Найдите сумму всех различных корней уравнения \[ \sin x+\sin2x+\sin3x+\sin4x+\sin5x=0, \] принадлежащих интервалу $(0;\pi)$.
Ответ:
Решение:
Функция $y=f(t)$ такова, что сумма корней уравнения $f(\cos x)=0$ на отрезке $\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]$ равна $17\pi$, а сумма корней уравнения $f(\sin x)=0$ на отрезке $\left[\pi;\dfrac{3\pi}{2}\right]$ равна $29\pi$. Какова сумма корней второго уравнения на отрезке $\left[\dfrac{3\pi}{2};2\pi\right]$?
Ответ:
Решение: