Даны равнобокая трапеция $ABCD$ ($AD$ и $BC$ — основания, $AD\gt BC$) и окружность $\omega$ с центром $C$, касающаяся стороны $AD$. Касательные к $\omega$, проведённые из точки $B$, пересекают прямую $AD$ в точках $P$ и $Q$ (точка $P$ лежит между $Q$ и $D$). На продолжении стороны $CB$ за точку $B$ выбрана точка $N$ так, что $\angle CPN$ — прямой. Найдите углы $ADC$, $NQC$ и площадь четырёхугольника $NCDQ$, если известно, что $\angle NCP=\operatorname{arctg}\frac{12}{5}$, $AP=\frac{13}{2}$, $NC=13$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольнике $ABCD$ со сторонами $AD=8$, $AB=4$ расположены три круга $K$, $K_1$ и $K_2$. Круг $K$ касается кругов $K_1$, $K_2$ внешним образом, а также прямых $AD$ и $BC$. Круги $K_1$, $K_2$ касаются также сторон $AD$, $AB$ и $AD$, $CD$ соответственно. Найти максимальное возможное значение суммы площадей трех кругов.
Ответ:
Решение:
Две окружности касаются внешним образом: друг друга в точке $A$, а третьей окружности — в точках $B$ и $C$. Продолжение хорды $AB$ первой окружности пересекает вторую окружность в точке $D$, продолжение хорды $AC$ пересекает первую окружность в точке $E$, а продолжения хорд $BE$ и $CD$ — третью окружность в точках $F$ и $G$ соответственно. Найдите $BG$, если $BC=5$ и $BF=12$.
Ответ:
Решение:
Диагонали трапеции $ABCD$ с основаниями $AD=3$ и $BC=1$ пересекаются в точке $O$. Две окружности, пересекающие основание $BC$ в точках $K$ и $L$ соответственно, касаются друг друга в точке $O$, а прямой $AD$ — в точках $A$ и $D$ соответственно. Найдите $AK^2+DL^2$.
Ответ:
Решение:
Окружность с центром в точке $O$ касается стороны $BC$ треугольника $ABC$ в точке $C$ и касается медианы $AD$ треугольника $ABC$ в точке $A$. $OB$ — биссектриса угла $AOD$. Найдите углы треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$. Серединный перпендикуляр к $BC$ пересекает $AB$ и $AC$ в точках $X$ и $Y$. Прямая $AO$ пересекает прямую $BC$ в точке $D$, $M$ — середина $BC$. Описанная окружность треугольника $ADM$ пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $E$, отличной от $A$. Докажите, что прямая $OE$ касается описанной окружности треугольника $AXY$.
Ответ:
Решение:
Точка $M$ — середина стороны $BC$ треугольника $ABC$. Окружность $\omega$ проходит через точку $A$, касается прямой $BC$ в точке $M$ и пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Точки $X$ и $Y$ — середины отрезков $BE$ и $CD$ соответственно. Докажите, что описанная окружность треугольника $MXY$ касается окружности $\omega$.
Ответ:
Решение:
Точка $M$ — середина стороны $BC$ треугольника $ABC$. Окружность $\omega$ проходит через точку $A$, касается прямой $BC$ в точке $M$ и пересекает сторону $AB$ в точке $D$, а сторону $AC$ — в точке $E$. Пусть $X$ и $Y$ — середины отрезков $BE$ и $CD$ соответственно. Докажите, что окружность, описанная около треугольника $MXY$, касается $\omega$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ высоты $BE$ и $CF$ пересекаются в точке $H$, точка $M$ — середина стороны $BC$, а $X$ — точка пересечения внутренних касательных к окружностям, вписанным в треугольники $BMF$ и $CME$. Докажите, что точки $X$, $M$ и $H$ лежат на одной прямой.
Ответ:
Решение:
Сотовая связь — это целый мир возможностей. Но чтобы пользоваться ими, нужно быть в зоне действия базовой станции. Сети GSM (2G) имеют мощность, которая позволяет покрывать территорию радиусом до 35 километров на открытой местности. В городских условиях, где много зданий, зона приёма сигнала значительно уменьшается. Сети 3G и 4G (LTE) работают на более высоких частотах, чем сети 2G, и их сигнал хуже проникает сквозь препятствия и больше подвержен помехам. В сетях GSM было достаточно нескольких вышек, чтобы покрывать большие территории, а для 3G и 4G сетей для обеспечения надежной связи требуется больше вышек. В городе установлен ретранслятор GSM сети, который обеспечивает покрытие в пределах окружности радиусом $R=24$ км. Центр окружности — основание вышки. Однако из-за особенностей рельефа зона покрытия этого ретранслятора ограничена хордой, проведённой внутри этой окружности. Хорда находится на расстоянии $d=3$ км от центра окружности. В меньшем сегменте, образованном хордой, необходимо установить два дополнительных ретранслятора (3G вышки) так, чтобы их зоны покрытия касались друг друга, хорды и основной окружности. Каждый из этих ретрансляторов имеет круговую зону покрытия одинакового радиуса $r$. Найдите радиусы зон покрытия двух дополнительных ретрансляторов, которые нужно установить в меньшем сегменте. Определите площадь части меньшего сегмента, которая не попадает в зону действия дополнительных ретрансляторов.
Ответ:
Решение:
Через центр $O$ окружности $\Omega$, описанной около треугольника $ABC$, проведена прямая, параллельная $BC$ и пересекающая стороны $AB$ и $AC$ в точках $B_1$ и $C_1$ соответственно. Окружность $\omega$ проходит через точки $B_1$, $C_1$ и касается $\Omega$ в точке $K$. Найти угол между прямыми $AK$ и $BC$. Найти площадь треугольника $ABC$ и радиус окружности $\Omega$, если $B_1C_1=6$, $AK=6$, а расстояние между прямыми $BC$ и $B_1C_1$ равно 2.
Ответ:
Решение:
Треугольник $ABC$ вписан в окружность $O$ радиуса $R$, точки $K$, $L$ и $M$ — середины отрезков $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно. Окружности $O_1$, $O_2$ и $O_3$ проведены через точки $K$, $L$ и $M$ соответственно, касаются окружности $O$ и каждая имеет с треугольником $ABC$ единственную общую точку. Найти радиус окружности $O_3$, если радиусы окружностей $O_1$ и $O_2$ равны $\frac13R$ и $\frac14R$ соответственно.
Ответ:
Решение:
Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ лежат внутри треугольника $ABC$, в котором $AB=BC=l$, $AC=2$, а радиус $\omega_1$ в два раза больше радиуса $\omega_2$. Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ касаются внешним образом, причём $\omega_1$ касается сторон $AB$ и $AC$, а $\omega_2$ — сторон $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$. Найти радиус окружности $\omega_1$, если $l=6$. Найти все значения $l$, при которых существуют указанные окружности.
Ответ:
Решение:
На декартовой плоскости имеется квадратный бильярдный стол с вершинами в точках $(0;0)$, $(0;10)$, $(10;0)$ и $(10;10)$ и шар в точке $(3;4)$. Шар при ударе по нему попал в нижнюю правую лузу (точка $(10;0)$), отскочив сначала от верхнего борта, потом от правого, далее от нижнего, потом от левого и, наконец, снова от верхнего. Какое расстояние преодолел шар перед тем, как попасть в лузу? (Считайте, что шар и луза — материальные точки.)
Ответ:
Решение:
На декартовой плоскости имеется прямоугольный бильярдный стол с вершинами в точках $(0;0)$, $(0;6)$, $(10;0)$, $(10;6)$ и шар в точке $(2;3)$. Шар при ударе по нему попал в нижнюю правую лузу (точка $(10;0)$), отскочив сначала от верхнего борта, потом от правого, далее от нижнего, потом от левого и, наконец, снова от верхнего. Какое расстояние преодолел шар перед тем, как попасть в лузу? (Считайте, что шар и луза — материальные точки.)
Ответ:
Решение:
Диагонали $BD$ и $AC$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $M$, а отношение оснований $AD:BC=1:2$. Точки $I_1$ и $I_2$ — центры окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$, вписанных в треугольники $BMC$ и $AMD$ соответственно. Прямая, проходящая через точку $M$, пересекает $\omega_1$ в точках $X$ и $Y$, а $\omega_2$ — в точках $Z$ и $W$ ($X$ и $Z$ находятся ближе к $M$). Найдите радиус окружности $\omega_1$, если $I_1I_2=13/2$, а $MZ\cdot MY=5$.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$, вписанный в окружность с центром в точке $O$. Угол $\angle C=30^\circ$. Центр окружности симметрично отразили относительно прямой, содержащей сторону $AB$ — получилась точка $O'$. Точку, диаметрально противоположную точке $A$, симметрично отразили относительно прямой, содержащей сторону $BC$. Получилась точка $A''$. Оказалось, что точки $O'$, $B$, $A''$ лежат на одной прямой. Найдите угол $\angle B$.
Ответ:
Решение:
Точка $O$ лежит внутри равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$. Расстояние от неё до вершины $A$ прямого угла равно $6$, до вершины $B$ равно $4$, до вершины $C$ равно $8$. Найти площадь треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$: $\angle ACB=90^\circ$, $AC=6$, $BC=4$. На прямой $BC$ отмечается такая точка $D$ ($CD\gt BD$), что $\angle ADC=45^\circ$. На прямой $AD$ отмечается такая точка $E$, что периметр треугольника $CBE$ — наименьший из возможных. Затем, на прямой $DC$ отмечается такая точка $F$, что периметр треугольника $AFE$ — наименьший из возможных. Найти $CF$.
Ответ:
Решение:
Диагонали выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, и при этом треугольники $BOC$ и $AOD$ — правильные. Точка $T$ симметрична точке $O$ относительно середины стороны $CD$.
а) Докажите, что $ABT$ — правильный треугольник.
б) Пусть дополнительно известно, что $BC=3$, $AD=7$. Найдите отношение площади треугольника $ABT$ к площади четырёхугольника $ABCD$.
а) Докажите, что $ABT$ — правильный треугольник.
б) Пусть дополнительно известно, что $BC=3$, $AD=7$. Найдите отношение площади треугольника $ABT$ к площади четырёхугольника $ABCD$.
Ответ:
Решение: