Признаки подобия. Обобщённая теорема Фалеса. Теорема Чевы. Теорема Менелая.
Найдите промежуток изменения коэффициента подобия треугольников с длинами сторон $x$, $y$, $z$ и $y$, $z$, $p$. В ответе укажите ближайшие друг к другу целые числа, между которыми находится найденный промежуток.
Ответ:
Решение:
Точка $O$ — центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$. Описанная окружность треугольника $AOC$ вторично пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $E$ и $F$. Оказалось, что прямая $EF$ делит площадь треугольника $ABC$ пополам. Найдите угол $B$.
Ответ:
Решение:
Через вершину $A$ треугольника $ABC$ проведена прямая, пересекающая сторону $BC$ в точке $D$ и делящая площадь треугольника в отношении $1:7$. Другая прямая, параллельная $AD$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно и делит площадь треугольника $ABC$ пополам. В каком отношении точки $M$ и $N$ делят стороны $AB$ и $BC$?
Ответ:
Решение:
Точка $M$ расположена на стороне $CD$ прямоугольника $ABCD$ так, что $CM:MD=1:2$. На отрезке $AM$ выбрана точка $N$ так, что $AN:NM=3:1$. Прямая $DN$ пересекает отрезок $MB$ в точке $P$. Найти отношение $MP:PB$.
Ответ:
Решение:
На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $M$ и $N$ так, что $BM=MN=NC$. Прямая, параллельная $AN$ и проходящая через точку $M$, пересекает продолжение стороны $AC$ за точку $A$ в такой точке $D$, что $AB=CD$. Найдите $AB$, если $BC=6$, $\cos(2\angle CDM)=-\dfrac{3}{4}$.
Ответ:
Решение:
На сторонах $AC$ и $AB$ треугольника $ABC$ взяты точки $D$ и $E$ соответственно, а отрезки $BD$ и $CE$ пересекаются в точке $F$. Пусть $G$ — такая точка на отрезке $AC$, что прямая $BG$ делит $CF$ пополам. Известно, что $BE=EF=5$, $CD=DF=10$, $AG=18$. Найдите $AE$.
Ответ:
Решение:
В треугольник $ABC$ вписаны два равных прямоугольника $PQRS$ и $P_1Q_1R_1S_1$ (при этом точки $P$ и $P_1$ лежат на стороне $AB$, точки $Q$ и $Q_1$ лежат на стороне $BC$, а точки $R$, $S$, $R_1$ и $S_1$ — на стороне $AC$). Известно, что $PS=12$, $P_1S_1=3$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AK$ и $CL$. Известно, что $LK=12$ и $\angle ABC=60^\circ$. Найти радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ из вершины прямого угла $C$ проведена высота $CK$. Периметр треугольника $ABC$ равен 13, а периметр треугольника $BCK$ равен 5. Найдите периметр треугольника $ACK$.
Ответ:
Решение:
Основание $AD$ параллелограмма $ABCD$ разбито точками $M_1$, $M_2$, $\ldots$, $M_9$ на десять равных частей. Прямые $BM_1$, $BM_2$, $\ldots$, $BM_9$ пересекают диагональ $AC$ в точках $N_1$, $N_2$, $\ldots$, $N_9$ соответственно. Найти длину седьмого по счету от вершины $A$ отрезка разбиения диагонали этими точками, если длина диагонали равна $136$.
Ответ:
Решение:
$AH$ — высота равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB=BC$). Точка $M$ — середина стороны $AB$. Из точки $M$ опущен перпендикуляр $MK$ на сторону $AC$. Найдите периметр треугольника $ABC$, если $AH=MK$ и $AK=5$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой, $CD$ — высота. Найдите длину радиуса окружности, вписанной в треугольник $ABC$, если длины радиусов окружностей, вписанных в треугольники $ACD$ и $BCD$, равны 6 и 8 соответственно.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $BB_{1}$ и $CC_{1}$. Прямые $B_{1}C_{1}$ и $BC$ пересекаются в точке $P$.
а) Докажите, что треугольники $PBC_{1}$ и $PB_{1}C$ подобны.
б) Найдите расстояние от вершины $A$ до точки пересечения высот треугольника $ABC$, если $BP=BB_{1}$, $\angle ABC=80^{\circ}$, $BC=2\sqrt{3}$, а точка $B$ лежит между $C$ и $P$.
а) Докажите, что треугольники $PBC_{1}$ и $PB_{1}C$ подобны.
б) Найдите расстояние от вершины $A$ до точки пересечения высот треугольника $ABC$, если $BP=BB_{1}$, $\angle ABC=80^{\circ}$, $BC=2\sqrt{3}$, а точка $B$ лежит между $C$ и $P$.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ основания $AD=5$ и $BC=2$, диагональ $AC=14$.
а) Найти $AO$ и $OC$.
б) Найти площадь треугольника $AOD$, если площадь треугольника $BOC$ равна $3{,}6$.
а) Найти $AO$ и $OC$.
б) Найти площадь треугольника $AOD$, если площадь треугольника $BOC$ равна $3{,}6$.
Ответ:
Решение:
В параллелограмме $ABCD$ на стороне $AD$ взята точка $M$ так, что $AM:MD=1:3$. Отрезок $BM$ пересекает диагональ $AC=12$ параллелограмма $ABCD$ в точке $O$. Найти $AO$ и $OC$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ со сторонами $AB=10$, $BC=14$ и $AC=20$ проведены биссектрисы $AK$ и $BM$, пересекающиеся в точке $O$. Найти отношение $AO:OK$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ сторона $AB=12$, высота $CH=8$. В треугольник вписан прямоугольник так, что одна его сторона лежит на стороне $AB$, а две вершины — на сторонах $AC$ и $BC$. Найти стороны прямоугольника, если его периметр равен 23.
Ответ:
Решение:
На стороне $AC$ треугольника $ABC$ взята точка $M$ так, что $\angle AMB=\angle ABC$. Найти сторону $AB$, если $AM=4$ и $CM=5$.
Ответ:
Решение:
Прямая, параллельная стороне $BC$ треугольника $ABC$, пересекает его стороны $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $K$ соответственно, причем площади треугольника $AMK$ и трапеции $BMKC$ относятся как $3:2$. Найти отношение $AM:MB$.
Ответ:
Решение:
Площадь треугольника $ABC$ равна 25. На стороне $BC$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=3:2$, и через неё проведены прямые, параллельные $AB$ и $AC$, пересекающие стороны $AC$ и $AB$ в точках $N$ и $K$ соответственно. Найти площадь параллелограмма $AKMN$.
Ответ:
Решение: