Готовые варианты контрольных — за минуты

Два пирата делили добычу, состоящую из пяти золотых слитков, масса одного из которых $1$ кг, а другого — $2$ кг. Какую массу могли иметь три других слитка, если известно, что какие бы два слитка ни выбрал себе первый пират, второй пират сможет так разделить оставшиеся слитки, чтобы каждому из них досталось золота поровну?

Спутник связи движется по круговой орбите вокруг Земли (имеет форму шара) на высоте $H$, равной радиусу Земли $R=6372$ км, с периодом обращения $T=4$ ч и постоянной угловой скоростью $\omega=\frac{2\pi}{T}$.
Для того, чтобы в центре управления полетами (ЦУП) можно было получать сигнал от спутника (иметь окно для связи), он должен находиться выше плоскости горизонта ЦУПа. Определите количество окон для связи ЦУПа со спутником в течение суток и общую продолжительность этих окон, если траектория полета спутника проходит ровно над ЦУПом.

Для получения фотоснимков небесных тел используются космические зонды — автономные роботы, оснащенные ракетными двигателями, собственными энергетическими установками, системами радиосвязи и навигации, научными приборами. И все это управляется бортовыми компьютерами. Например, благодаря таким зондам успешно выполнена программа исследования Сатурна и его крупнейшего спутника Титана, удивительно похожего на Землю. При изучении одного из спутников Сатурна с радиусом орбиты $R\approx 1{,}2\cdot10^5$ км возникла нештатная ситуация: при пролете зонда сквозь плоскость колец Сатурна бортовая поворотная платформа с телекамерами была заклинена частицами этих колец. В результате смогли получить четкие снимки только одной стороны спутника. Для получения снимков обратной стороны спутника было принято решение продолжить полет зонда и встретить спутник в другой точке пространства, для чего пришлось скорректировать скорость движения зонда.
Рассмотрим упрощенную модель возникшей ситуации. Траекторию движения спутника (орбиту) вокруг Сатурна (точка $O$) считаем круговой с радиусом $R=1{,}2\cdot10^5$ км, скорость движения спутника постоянна и равна $V_T=3{,}27$ км/с. Проекцию зонда на плоскость орбиты назовем подзондовой точкой. Скорость движения подзондовой точки постоянна и равна $V_1=6$ км/с, а ее траекторию в плоскости орбиты условно считаем прямой, пересекающей окружность в точках $C$ и $D$. Согласно заложенной программе, съемка поверхности спутника зондом осуществляется в моменты их наибольшего сближения, которые соответствуют моментам пересечения траектории подзондовой точки с орбитой спутника (точки $C$ и $D$). Когда спутник (точка $S$) оказывается строго на прямой между центром Сатурна (точка $O$) и подзондовой точкой (точка $B$), запускается таймер ($t_0=0$). При этом спутник и подзондовая точка встречаются в точке $C$ через время $t=2\cdot10^4$ с. После съемки над точкой $C$ скорость зонда меняется так, чтобы над точкой $D$ оказаться одновременно со спутником для фотографирования его обратной стороны. Скорость подзондовой точки на участке $CD$ постоянна.
Определите расстояние между подзондовой точкой и спутником (считая его материальной точкой) в начальный момент времени $t_0$, а также скорость подзондовой точки $V_2$ на участке $CD$. В расчетах используйте приближенные значения скорости спутника и числа $\pi$ — округлите их до целых значений.

Астрономы обнаружили за планетой Сатурн новое небесное тело, движущееся по круговой орбите, для изучения которого был направлен научно-исследовательский зонд — автономный робот, оснащенный ракетными двигателями, собственной энергетической установкой, системами радиосвязи и навигации, научными приборами, фото- и видеотехникой. И все это управляется бортовыми компьютерами. Для изучения найденного объекта было принято решение произвести фотосъемку в двух точках его орбиты. После съемок в первой точке, потребовалось скорректировать скорость движения зонда, чтобы иметь возможность сделать еще один фотоснимок небесного тела в другой точке его орбиты.
Рассмотрим упрощенную модель возникшей ситуации. Считаем изучаемый объект (небесное тело) и исследовательский зонд материальными точками, небесное тело движется по круговой орбите с центром в точке $O$ и радиусом $R=1{,}2\cdot10^6$ км с постоянной угловой скоростью $\omega=0{,}25\cdot10^{-5}$ рад/с. Проекцию зонда на плоскость орбиты назовем подзондовой точкой. Скорость движения подзондовой точки постоянна и равна $V_1$, а ее траекторию в плоскости орбиты условно считаем прямой, пересекающей окружность в точках $P$ и $K$. Согласно заложенной программе, съемка небесного тела зондом осуществляется в моменты их наибольшего сближения, которые соответствуют моментам пересечения траектории подзондовой точки с орбитой тела (точки $P$ и $K$). Когда небесное тело (точка $T$) оказывается строго на прямой между точкой $O$ и подзондовой точкой (точка $Z$), запускается таймер ($t_0=0$). В точке $P$ небесное тело и подзондовая точка находятся в одно и тоже время, и осуществляется съемка, после чего скорость зонда меняется так, чтобы над точкой $K$ вновь оказаться одновременно с телом для его повторного фотографирования. Скорость подзондовой точки на участке $PK$ постоянна.
Определите расстояние между подзондовой точкой и изучаемым телом в начальный момент времени $t_0$, а также скорость подзондовой точки $V_2$ на участке $PK$, если центральный угол $POK$ равен углу $PZO$ и в полтора раза меньше центрального угла $POT$. В расчетах используйте приближенное значение числа $\pi$ — округлите его до целого значения.

Сколько раз за сутки секундная и минутная стрелки часов образуют с часовой стрелкой угол в $30^\circ$? (сутки начинаются в полночь).