Площади оснований усечённой пирамиды равны $12$ и $75$, а высота равна $21$. Найдите её объём.
Ответ:
Решение:
Рассматриваются всевозможные правильные четырёхугольные пирамиды, у которых медианы боковых граней, проведённые из вершины пирамиды, равны $a$.
а) Найдите наибольший возможный объём рассматриваемых пирамид.
б) Для пирамиды наибольшего объёма найдите угол между соседними боковыми гранями.
а) Найдите наибольший возможный объём рассматриваемых пирамид.
б) Для пирамиды наибольшего объёма найдите угол между соседними боковыми гранями.
Ответ:
Решение:
Дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$, в которой $AB=14\sqrt{42}$, $AS=49\sqrt6$. Муравей пробежал по всем боковым граням пирамиды, начав путь в вершине $A$, и вернувшись в эту же вершину. Какой минимальный путь он мог проделать?
Ответ:
Решение:
В основании пирамиды $DABC$ лежит правильный треугольник $ABC$, угол $ACD$ прямой. Сфера с диаметром $BD$ пересекает повторно рёбра $AD$, $AB$ и $CD$ в точках $E$, $F$ и $C$ соответственно. Найдите объём пирамиды $EACF$, если $AB=\sqrt{2}$, $CD=\sqrt{3}$.
Ответ:
Решение:
Известно, что сумма плоских углов при каждой вершине треугольной пирамиды равна $180^\circ$, а периметр основания равен $p$. Найти сумму длин всех ребер пирамиды.
Ответ:
Решение:
Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 5, 12 и 13, а её высота образует с высотами боковых граней (опущенными из той же вершины) одинаковые углы, не меньшие $30^\circ$. Какой наибольший объём может иметь такая пирамида?
Ответ:
Решение:
В треугольной пирамиде $SABC$ рёбра $SA$, $SB$ и $SC$ не длиннее, чем 3, 4 и 5 соответственно, а площади граней $SAB$, $SAC$ и $SBC$ не меньше, чем 6, $15/2$ и 10 соответственно. Найдите объём пирамиды $SABC$.
Ответ:
Решение:
Рассматриваются четырёхугольные пирамиды $MABCD$ со следующими свойствами: основание пирамиды — выпуклый четырёхугольник $ABCD$, в котором $AB=BC=1$, $CD=DA=2$, а каждая из плоскостей боковых граней $MAB$, $MBC$, $MCD$, $MDA$ составляет угол $45^\circ$ с плоскостью основания.
а) Найдите объём такой пирамиды, если её высота, опущенная из вершины $M$, равна $\dfrac95$.
б) При какой длине высоты объём рассматриваемых пирамид максимален и чему равен этот объём?
а) Найдите объём такой пирамиды, если её высота, опущенная из вершины $M$, равна $\dfrac95$.
б) При какой длине высоты объём рассматриваемых пирамид максимален и чему равен этот объём?
Ответ:
Решение:
Треугольная пирамида $SABC$ ($S$ — вершина) обладает следующими свойствами:
1) длины проекций боковых рёбер на плоскости боковых граней, не содержащих эти рёбра (то есть проекция ребра $SA$ на плоскость грани $SBC$, и так далее), равны между собой;
2) длины проекций боковых рёбер на плоскость основания пирамиды также равны между собой.
Известно, что $\cos\angle ASB=-\dfrac{15}{17}$, $AB=6$. Найдите сумму периметров оснований всех пирамид, обладающих указанными свойствами.
1) длины проекций боковых рёбер на плоскости боковых граней, не содержащих эти рёбра (то есть проекция ребра $SA$ на плоскость грани $SBC$, и так далее), равны между собой;
2) длины проекций боковых рёбер на плоскость основания пирамиды также равны между собой.
Известно, что $\cos\angle ASB=-\dfrac{15}{17}$, $AB=6$. Найдите сумму периметров оснований всех пирамид, обладающих указанными свойствами.
Ответ:
Решение:
Дана треугольная пирамида $SABC$. Известно, что ортогональные проекции ребер $SA$, $SB$, $SC$ на плоскость $ABC$ имеют равные длины. Также равные длины имеют ортогональная проекция ребра $SC$ на плоскость $SAB$ и ортогональная проекция ребра $SB$ на плоскость $SAC$. Найдите отношение $AB:AC$, если известно, что оно не равно 1, а $\sin\angle SAB=\dfrac{10}{\sqrt{149}}$.
Ответ:
Решение:
В треугольной пирамиде боковые грани, имеющие площади \[ \dfrac{1625}{4},\quad \dfrac{1885}{4},\quad 585, \] образуют равные углы с основанием. Площадь основания равна 360. Какой наименьший объём может иметь такая пирамида? Если необходимо, ответ округлите до трёх знаков после запятой.
Ответ:
Решение:
Плоскость $P$ пересекает боковые ребра $SA$, $SB$, $SC$ треугольной пирамиды $SABC$ в точках $M$, $N$, $K$ соответственно и образует угол $45^\circ$ с боковой гранью $SBC$. Найти объем пирамиды $SABC$, если произведение ее ребер $SA\cdot SB\cdot SC=5\sqrt{15}$, а пирамида $SMNK$ правильная.
Ответ:
Решение:
В каком отношении $CE:CD$ точка $E$ делит сторону $CD$ основания правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, боковое ребро которой наклонено к основанию под углом $30^\circ$, если известно, что площадь треугольника $SBE$ минимально возможная?
Ответ:
Решение:
На ребре $AS$ треугольной пирамиды $SABC$ отмечены такие точки $M$ и $N$, что $AM=MN=NS$. Найдите площадь треугольника $NBC$, если площади треугольников $ABC$, $MBC$ и $SBC$ равны 1, 2 и $\sqrt{37}$ соответственно.
Ответ:
Решение:
Каков минимальный объём пирамиды, у которой в основании лежит правильный треугольник со стороной 6, а все плоские углы при вершине равны между собой и не превосходят $2\arcsin\dfrac13$?
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее значение объёма треугольной пирамиды, у которой противоположные рёбра попарно равны, а сумма длин всех рёбер равна $36\sqrt2$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
В неправильной пирамиде $ABCD$ сумма плоских углов при вершине $A$ равна $180^\circ$. Найдите площадь поверхности этой пирамиды, если площадь грани $BCD$ равна $S$ и $AB=CD$, $AD=BC$.
Ответ:
Решение:
В неправильной пирамиде $ABCD$ суммы плоских углов при вершинах $A$ и $B$ одинаковы, суммы плоских углов при вершинах $C$ и $D$ тоже одинаковы, а сумма площадей граней $ABD$ и $ACD$ равна $S$. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
Ответ:
Решение:
Первооткрыватель летел над джунглями на вертолёте и заметил забытый храм инков. Храм выстроен в форме правильной усечённой пирамиды с квадратными основаниями — сторона нижнего основания равна 2048 и. е., сторона верхней площадки равна 486 и. е. (и. е. — инкские единицы длины). Высоту храма путешественник измерить не сумел, поэтому посадил вертолёт на верхней площадке и начал спускаться по боковой поверхности пирамиды, начиная от угла. Спускался он не напрямую — склон для этого слишком крут — а наискосок, по линии, угол наклона которой к поверхности земли равен $45^\circ$. Когда он добирался до бокового ребра, он переходил через ребро и шёл по следующей грани, под таким же углом $45^\circ$ к поверхности земли. Он закончил спуск ровно у вершины нижнего основания пирамиды, насчитав по пути 5 сторон (иными словами, его путь выглядит как ломаная, и в этой ломаной получилось 5 отрезков). Какой высоты (в и. е.) был храм?
Ответ:
Решение: