Три шара радиуса $r$ касаются друг друга и шара радиуса $R$ внешним образом. При каком соотношении между $r$ и $R$ это возможно? Считая, что $R\gt r$, найти радиус шара, касающегося всех четырех шаров внешним образом.
Ответ:
Решение:
В четырёхугольной пирамиде $SABCD$ известны длины всех рёбер: \[ AB=BC=CD=DA=5,\ SB=2\sqrt{5},\ SA=SC=3\sqrt{5},\ SD=2\sqrt{10}. \] Сфера $\omega$ с диаметром $SB$ пересекает грани пирамиды по множеству, состоящему из точки $S$ и линии $L$, не содержащей точку $S$. Найдите длину линии $L$.
Ответ:
Решение:
Женя красила шарообразное яйцо последовательно в пяти красках, погружая его в стакан с очередной краской так, чтобы окрашивалась ровно половина площади поверхности яйца (полсферы). В результате яйцо окрасилось полностью. Докажите, что одна из красок была лишней, то есть если бы Женя не использовала эту краску, а в другие краски погружала бы яйцо так же, то оно всё равно окрасилось бы полностью.
Ответ:
Решение:
Внутри куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ расположен центр $O$ сферы радиуса 10. Сфера пересекает грань $AA_1D_1D$ по окружности радиуса 1, грань $A_1B_1C_1D_1$ по окружности радиуса 1, грань $CDD_1C_1$ по окружности радиуса 3. Найдите длину отрезка $OD_1$.
Ответ:
Решение:
На горизонтальном полу лежат три волейбольных мяча радиусом 18, попарно касающиеся друг друга. Сверху положили теннисный мяч радиусом 6, касающийся всех трёх волейбольных мячей. Найдите расстояние от верхней точки теннисного мяча до пола. (Все мячи имеют форму шара.)
Ответ:
Решение:
Центры шести сфер радиуса 1 расположены в вершинах правильного шестиугольника со стороной 2. Эти сферы внутренним образом касаются большой сферы $S$ с центром в центре шестиугольника. Сфера $P$ касается шести сфер внешним образом и сферы $S$ внутренним образом. Чему равен радиус сферы $P$?
Ответ:
Решение:
Есть полусферическая ваза, закрытая плоской крышкой. В вазе лежат четыре одинаковых апельсина, касаясь вазы, и один грейпфрут, касающийся всех четырёх апельсинов. Верно ли, что все четыре точки касания грейпфрута с апельсинами обязательно лежат в одной плоскости? (Все фрукты являются шарами.)
Ответ:
Решение:
В пространстве даны три отрезка $A_1A_2$, $B_1B_2$ и $C_1C_2$, не лежащие в одной плоскости и пересекающиеся в одной точке $P$. Обозначим через $O_{ijk}$ центр сферы, проходящей через точки $A_i$, $B_j$, $C_k$ и $P$. Докажите, что прямые $O_{111}O_{222}$, $O_{112}O_{221}$, $O_{121}O_{212}$ и $O_{211}O_{122}$ пересекаются в одной точке.
Ответ:
Решение:
На сфере $\omega_1$ отмечена фиксированная точка $A$, а на сфере $\omega_2$ — фиксированная точка $B$. На сфере $\omega_1$ выбирается переменная точка $X$, а на сфере $\omega_2$ — переменная точка $Y$ так, что $AX\parallel BY$. Докажите, что середины всех построенных таким образом отрезков $XY$ лежат на одной сфере.
Ответ:
Решение:
Три сферы попарно касаются внешним образом в точках $A$, $B$ и $C$, а также касаются плоскости $\alpha$ в точках $D$, $E$ и $F$. Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, меньше, чем радиус окружности, описанной около треугольника $DEF$.
Ответ:
Решение:
Треугольная пирамида $SABC$ вписана в сферу $\Omega$. Докажите, что сферы, симметричные $\Omega$ относительно прямых $SA$, $SB$, $SC$ и плоскости $ABC$, имеют общую точку. Сфера, симметричная данной относительно прямой $\ell$ — это сфера такого же радиуса, центр которой симметричен центру исходной сферы относительно прямой $\ell$.
Ответ:
Решение:
В пространстве расположены отрезки $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ с общей серединой $M$. Оказалось, что сфера $\omega$, описанная около тетраэдра $MA_1B_1C_1$, касается плоскости $ABC$ в точке $D$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Докажите, что $MO=MD$.
Ответ:
Решение: