В треугольной пирамиде $SABC$ в основании лежит равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с гипотенузой $AC$. Боковые грани $SAB$ и $SAC$ перпендикулярны плоскости $ABC$. Сфера радиусом, равным $AC$, с центром в точке $S$ делит пирамиду на две части. Найдите объём большей из этих частей, если $SA=AB=2$.
Ответ:
Решение:
В желобе, имеющем форму двугранного угла величины $2\arcsin\frac{1}{3}$, неподвижно лежит шар радиуса 3, касаясь при этом обеих граней. Другой шар скользит вдоль желоба, также постоянно касаясь каждой из граней, и проскальзывает мимо неподвижно лежащего шара, не сталкиваясь с ним и даже не касаясь его. Найдите все возможные значения радиуса скользящего шара.
Ответ:
Решение:
Через четыре точки $A$, $B$, $C$, $D$, попарные расстояния между которыми равны $\sqrt{15}$, проведена сфера $S$. Через точки $E$ и $F$, расположенные на ребрах $AB$ и $CD$ пирамиды $ABCD$ соответственно, проведена прямая, пересекающая сферу в точках $M$ и $N$, ($E\in[M,F]$). Известно, что точки $E$ и $F$ делят хорду $MN$ в отношении $ME:EF:FN=1:2:3$. Найти длину отрезка $ME$.
Ответ:
Решение:
В треугольной пирамиде $SABC$ из вершины $S$ опустили высоту $SH$. Известно, что $SH=2\sqrt{3}$, $AB\gt BC$, $AB\gt AC$. Сфера, построенная на отрезке $SH$ как на диаметре, проходит через середины четырёх рёбер пирамиды.
а) Найдите длину ребра $AB$ и угол $ACB$.
б) Пусть дополнительно известно, что прямая, проходящая через вершину $C$ и середину ребра $SB$, касается сферы. Найдите объём пирамиды $SABC$.
а) Найдите длину ребра $AB$ и угол $ACB$.
б) Пусть дополнительно известно, что прямая, проходящая через вершину $C$ и середину ребра $SB$, касается сферы. Найдите объём пирамиды $SABC$.
Ответ:
Решение:
Двугранный угол при основании правильной треугольной пирамиды $SABC$ равен $\mathrm{arctg}\,3$. В каком отношении делит боковую сторону $SB$ сфера, центр которой лежит в плоскости основания, если известно, что вершины основания принадлежат сфере?
Ответ:
Решение:
Отрезок $AB=8$ пересекает плоскость $\alpha$ под углом $30^\circ$ и делится этой плоскостью в отношении $1:3$. Найдите радиус сферы, проходящей через точки $A$ и $B$ и пересекающей плоскость $\alpha$ по окружности наименьшего радиуса.
Ответ:
Решение:
В основании пирамиды $SABC$ лежит равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB^2=BC^2=160$, $AC^2=320$). Сфера, проходящая через вершины $A$, $B$, $C$, делит рёбра $SA$ и $SC$ пополам и пересекает ребро $SB$ в точке $B_1$. Найдите радиус сферы, если $SB_1=9$, $BB_1=1$. В ответ запишите квадрат радиуса сферы.
Ответ:
Решение:
Искусственный спутник (ИСЗ) движется по круговой орбите вокруг Земли (имеет форму шара) на высоте $H$, равной радиусу Земли $R=6372$ км, с периодом обращения $T=4$ ч и постоянной угловой скоростью $\omega=\frac{2\pi}{T}$. Для того, чтобы можно было наблюдать за спутником с поверхности Земли, он должен находиться выше плоскости горизонта. Определите: а) продолжительность наблюдения за спутником (в минутах) от момента его появления над горизонтом до момента захода за горизонт, если траектория ИСЗ проходит ровно над головой наблюдателя; б) плоский угол при вершине конуса обзора поверхности Земли с ИСЗ (в градусах).
Ответ:
Решение:
Два равных конуса расположены так, что осью каждого из них является образующая другого. Углы при вершинах в осевых сечениях этих конусов равны по $60^\circ$. Найдите угол между двумя образующими, по которым пересекаются эти конусы.
Ответ:
Решение:
На плоскости основания конуса с высотой, равной радиусу основания, дана точка (вне конуса), удалённая от окружности основания на расстояние, равное двум радиусам основания. Найдите угол между касательными плоскостями к боковой поверхности конуса, проходящими через данную точку.
Ответ:
Решение:
В квадратной песочнице, засыпанной ровным слоем песка высотой $1$, Маша и Паша делали куличи при помощи цилиндрического ведёрка высоты $2$. У Маши все куличи удались, а у Паши — рассыпались и превратились в конусы той же высоты. В итоге весь песок ушёл на куличи, поставленные на дне песочницы отдельно друг от друга. Чьих куличей оказалось в песочнице больше: Машиных или Пашиных?
Ответ:
Решение:
Развёртка боковой поверхности усечённого конуса с образующей, равной 12, представляет собой часть кругового кольца с центральным углом $\frac{2\pi}{3}$. Найдите радиусы оснований этого усечённого конуса, если площадь его поверхности равна площади полного кругового кольца.
Ответ:
Решение:
Даны два прямых круговых конуса, основания которых — концентрические круги, расположенные в плоскости $\alpha$. Известно, что конусы расположены по одну сторону от плоскости $\alpha$, их объёмы равны 1, а отношение радиусов оснований равно 3. Найдите объём общей части конусов. Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.
Ответ:
Решение:
Грани двугранного угла пересекают боковую поверхность цилиндра радиуса 5, образуя с его осью углы $70^\circ$ и $80^\circ$, а ребро двугранного угла перпендикулярно этой оси и удалено от неё на расстояние 11. Найдите объём части цилиндра, расположенной внутри двугранного угла.
Ответ:
Решение:
Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$ вписана в цилиндр (основания призмы вписаны в окружности оснований цилиндра). Плоскость $\alpha$ имеет ровно одну общую точку с каждым из оснований цилиндра и пересекает рёбра $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ в точках $K$, $N$, $P$ соответственно. Найдите отношения $AK:KA_1$ и $CP:PC_1$, если $BN:NB_1=3:4$.
Ответ:
Решение:
Моток ниток проткнули насквозь $72$ цилиндрическими спицами радиуса $1$ каждая, в результате чего он приобрёл форму цилиндра радиуса $6$. Могла ли высота этого цилиндра оказаться также равной $6$?
Ответ:
Решение:
Через точку, лежащую на оси цилиндра радиуса $\sqrt3$ и отстоящую от ближайшего к ней основания цилиндра на расстояние 1, проведена плоскость. Найдите объём меньшей части цилиндра, отсекаемой этой плоскостью, если угол между осью цилиндра и плоскостью равен $60^\circ$.
Ответ:
Решение:
У многогранника, изображенного на рисунке, грани — четыре правильных пятиугольника, четыре треугольника и два квадрата. Во сколько раз сторона верхнего квадрата больше стороны нижнего?
Ответ:
Решение:
Имеются одна треугольная и одна четырёхугольная пирамиды, все рёбра которых равны 1. Покажите, как разрезать их на несколько частей и склеить из этих частей куб (без пустот и щелей, все части должны использоваться).
Ответ:
Решение:
Тетраэдр с ребром $1$ повернули на $90^\circ$ относительно прямой, соединяющей середины противоположных рёбер. Найдите объём общей части нового и исходного тетраэдров.
Ответ:
Решение: