Две футбольные команды А. и Б. одинаково хорошо играют в футбол. Тренеры договорились о двух товарищеских матчах. За победу в матче команде дается 2 очка, за ничью — 1 очко, при поражении — 0 очков. Вероятность ничьей в каждой встрече одинакова и равна $p$.
На следующий год прошла аналогичная товарищеская серия из двух матчей. Команды играли в том же составе, они были по-прежнему равной силы, но вероятность $p$ выросла. Можно ли утверждать, что увеличилась вероятность того, что команды получат поровну очков?
На следующий год прошла аналогичная товарищеская серия из двух матчей. Команды играли в том же составе, они были по-прежнему равной силы, но вероятность $p$ выросла. Можно ли утверждать, что увеличилась вероятность того, что команды получат поровну очков?
Ответ:
Решение:
Шоссе, идущее с запада на восток, пересекается с $n$ равнозначными дорогами, пронумерованными числами от 1 до $n$ по порядку. По этим дорогам с юга на север и с севера на юг едут машины. Вероятность того, что машина подъедет к шоссе по каждой из дорог, равна $\frac{1}{n}$. Точно так же, вероятность того, что машина свернет с шоссе на каждую из дорог, равна $\frac{1}{n}$. Дорога, по которой машина покидает шоссе, не зависит от того, где эта машина въехала на шоссе.
Найдите вероятность того, что случайная машина, выехавшая на шоссе, минует $k$-й перекресток (проедет его насквозь или повернет на нем).
Найдите вероятность того, что случайная машина, выехавшая на шоссе, минует $k$-й перекресток (проедет его насквозь или повернет на нем).
Ответ:
Решение:
У Вити в неделю пять уроков математики — по одному во все дни с понедельника по пятницу. Витя знает, что с вероятностью $\frac{1}{2}$ учитель во время учебной недели не проверит у него домашнее задание, а с вероятностью $\frac{1}{2}$ проверит, причем только на одном из уроков математики, зато не угадаешь когда — на любом уроке с равными шансами.
В конце урока математики в четверг Витя понял, что пока на этой неделе учитель так и не проверил у него домашнее задание. Какова вероятность того, что домашнее задание будет проверено в пятницу?
В конце урока математики в четверг Витя понял, что пока на этой неделе учитель так и не проверил у него домашнее задание. Какова вероятность того, что домашнее задание будет проверено в пятницу?
Ответ:
Решение:
Выходя из дома на работу, Рассеянный Учёный с вероятностью 0,3 забывает дома шляпу, с вероятностью 0,1 — очки (независимо от шляпы), а с вероятностью 0,4 — зонтик (независимо от шляпы и очков). Если он что-то забыл, то консьержка в подъезде говорит ему об этом. Если Учёный забыл что-то одно, то решает не возвращаться из-за ерунды. Если он забыл две или три вещи, то возвращается за ними.
Завтра Учёный собирается на работу. С какой вероятностью ему придётся вернуться домой за забытыми вещами?
Завтра Учёный собирается на работу. С какой вероятностью ему придётся вернуться домой за забытыми вещами?
Ответ:
Решение:
Выходя из дома на работу, Рассеянный Учёный с вероятностью 0,2 забывает дома шляпу, с вероятностью 0,1 — очки (независимо от шляпы), а с вероятностью 0,3 — зонтик (независимо от шляпы и очков). Если он что-то забыл, то консьержка в подъезде говорит ему об этом. Если Учёный забыл что-то одно, то решает не возвращаться из-за ерунды. Если он забыл две или три вещи, то возвращается за ними.
Завтра Учёный собирается на работу. С какой вероятностью ему придётся вернуться домой за забытыми вещами?
Завтра Учёный собирается на работу. С какой вероятностью ему придётся вернуться домой за забытыми вещами?
Ответ:
Решение:
Буратино каждый месяц играет в лотерею «6 из 45», устроенную Карабасом-Барабасом. В лотерее 45 пронумерованных шаров, и в каждом тираже выпадает 6 случайных выигрышных шаров.
Буратино заметил, что в каждом следующем тираже не бывает шаров, выпавших в предыдущем тираже: во втором тираже не было шаров из первого, в третьем — из второго и т. д.
Буратино не верит в события, вероятность которых меньше чем 0,01. Если происходит такое событие, то Буратино начинает подозревать неладное. После какого тиража Буратино начнет подозревать, что Карабас-Барабас жульничает?
Буратино заметил, что в каждом следующем тираже не бывает шаров, выпавших в предыдущем тираже: во втором тираже не было шаров из первого, в третьем — из второго и т. д.
Буратино не верит в события, вероятность которых меньше чем 0,01. Если происходит такое событие, то Буратино начинает подозревать неладное. После какого тиража Буратино начнет подозревать, что Карабас-Барабас жульничает?
Ответ:
Решение:
Маша, Нина, Лена и Оля — подруги. Все они разного роста, но разница совсем невелика — на глаз не определить. Однажды они решили узнать, кто выше, а кто ниже. Оказалось, что Нина ниже Маши, а Лена выше Оли. Какова при этом условии вероятность того, что Нина выше Лены?
Ответ:
Решение:
Игральную кость бросают до тех пор, пока сумма выпавших при всех бросках очков не станет больше либо равна числу 3. Найдите вероятность того, что при последнем броске выпадет больше трёх очков.
Ответ:
Решение:
Одно время были популярны викторины, напоминающие телевизионную игру «Брейн-ринг». В викторине участвует несколько команд, а сама игра состоит из нескольких боёв. Очерёдность вступления команд в игру определяется жеребьёвкой. Сначала между собой играют команды № 1 и № 2. Ничья невозможна, проигравшая команда выбывает, а победитель играет с командой № 3. Проигравшая команда выбывает, победитель встречается с командой № 4 и так далее. Победителем игры является команда, выигравшая последний бой.
Предположим, что в викторине «Брейн-ринг» встречаются шесть абсолютно одинаковых по силе команд, то есть в любом бою шансы противников одинаковы. Во сколько раз вероятность стать победителем у команды № 6 выше, чем у команды № 3?
Предположим, что в викторине «Брейн-ринг» встречаются шесть абсолютно одинаковых по силе команд, то есть в любом бою шансы противников одинаковы. Во сколько раз вероятность стать победителем у команды № 6 выше, чем у команды № 3?
Ответ:
Решение:
Игральную кость бросают до тех пор, пока сумма выпавших при всех бросках очков не станет больше либо равна числу 3. Найдите вероятность того, что при последнем броске выпадет менее четырёх очков.
Ответ:
Решение:
Одно время были популярны викторины, напоминающие телевизионную игру «Брейн-ринг». В викторине участвует несколько команд, а сама игра состоит из нескольких боёв. Очерёдность вступления команд в игру определяется жеребьёвкой. Сначала между собой играют команды № 1 и № 2. Ничья невозможна, проигравшая команда выбывает, а победитель играет с командой № 3. Проигравшая команда выбывает, победитель встречается с командой № 4 и так далее. Победителем игры является команда, выигравшая последний бой.
Предположим, что в викторине «Брейн-ринг» встречаются шесть абсолютно одинаковых по силе команд, то есть в любом бою шансы противников одинаковы. Во сколько раз вероятность стать победителем у команды № 6 выше, чем у команды № 4?
Предположим, что в викторине «Брейн-ринг» встречаются шесть абсолютно одинаковых по силе команд, то есть в любом бою шансы противников одинаковы. Во сколько раз вероятность стать победителем у команды № 6 выше, чем у команды № 4?
Ответ:
Решение:
В некотором городе был проведён опрос респондентов в случайной выборке, состоящей из взрослых горожан. Им предлагались два вопроса: «Есть ли у вас банковская карта?» и «Делаете ли вы покупки в Интернете?». Объём выборки был от 1500 до 2000 человек. Для обработки собранные данные были переданы Рассеянному Учёному, который после изучения результатов воскликнул:
— Надо же! Оказывается, в этом замечательном городе события «У горожанина есть банковская карта» и «Горожанин делает покупки в интернете», скорее всего, независимы! Никогда бы не подумал.
Как выяснилось позже, Учёный был прав — эти события действительно оказались независимы. Учёный представил данные в виде таблицы, но по рассеянности ошибся в одном из четырёх чисел.
Оцените (найдите примерно) общее количество участников опроса. Объясните свои рассуждения.
— Надо же! Оказывается, в этом замечательном городе события «У горожанина есть банковская карта» и «Горожанин делает покупки в интернете», скорее всего, независимы! Никогда бы не подумал.
Как выяснилось позже, Учёный был прав — эти события действительно оказались независимы. Учёный представил данные в виде таблицы, но по рассеянности ошибся в одном из четырёх чисел.
| Есть карта | Нет карты | |
|---|---|---|
| Делает покупки в интернете | 81 | 245 |
| Не делает покупки в интернете | 1142 | 535 |
Ответ:
Решение:
В летнем математическом лагере много школьников. Вероятность того, что двое случайно выбранных школьников уже знакомы, равна $p$ (независимо от того, с кем ещё они знакомы). Какова вероятность того, что из четверых случайно выбранных школьников один знает всех остальных, а из оставшихся троих никто не знает друг друга?
Ответ:
Решение:
В небольшом городе с населением менее 10 000 человек по заказу ветеринарной службы было опрошено более трёх тысяч респондентов. Им предлагались два вопроса: «Есть ли у вас дома кошка?» и «Есть ли у вас дома собака?». Для обработки собранные данные были переданы Рассеянному Учёному, который после изучения результатов воскликнул:
— Надо же! Оказывается, в этом замечательном городе события «Дома живёт кошка» и «Дома живёт собака», скорее всего, независимы! Никогда бы не подумал.
Как выяснилось позже, Учёный был прав: эти события действительно оказались независимы. Рассеянный Учёный представил данные в виде таблицы, но по рассеянности ошибся в одном из четырёх чисел.
Оцените (найдите примерно) общее количество участников опроса. Объясните свои рассуждения.
— Надо же! Оказывается, в этом замечательном городе события «Дома живёт кошка» и «Дома живёт собака», скорее всего, независимы! Никогда бы не подумал.
Как выяснилось позже, Учёный был прав: эти события действительно оказались независимы. Рассеянный Учёный представил данные в виде таблицы, но по рассеянности ошибся в одном из четырёх чисел.
| Есть собака | Нет собаки | |
|---|---|---|
| Есть кошка | 765 | 1110 |
| Нет кошки | 978 | 121 |
Ответ:
Решение:
В летнем математическом лагере много школьников. Вероятность того, что двое случайно выбранных школьников уже знакомы, равна $p$ (независимо от того, с кем ещё они знакомы). Какова вероятность того, что четверых случайно выбранных школьников удастся поселить в две комнаты по двое так, чтобы в обеих комнатах школьники были знакомы, а любые двое из двух разных комнат — нет?
Ответ:
Решение:
На стол в ряд выложили 50 карточек, пронумерованных слева направо числами от 1 до 50. Снизу карточки синие, а сверху — красные. Вася выбирает случайным образом 25 карточек, лежащих подряд (фрагмент ряда), и переворачивает их. Затем к столу подходит Ася и делает то же самое — выбирает случайный фрагмент из 25 карточек, лежащих подряд, и переворачивает их, независимо от того, что делал раньше Вася. У какой карточки (или карточек) вероятность оказаться красной стороной вверх после всех переворачиваний меньше, чем у других?
Ответ:
Решение:
Шоссе Долгое пересекается с улицей Узкой и с улицей Тихой (см. рис.). На обоих перекрёстках стоят светофоры. Первый светофор $x$ секунд разрешает движение по шоссе, а полминуты — по ул. Узкой. Второй светофор две минуты разрешает движение по шоссе, а $x$ секунд — по ул. Тихой. Светофоры работают независимо друг от друга. При каком значении $x$ вероятность проехать по Долгому шоссе оба перекрестка, не останавливаясь на светофорах, будет наибольшей? Чему равна эта наибольшая вероятность?
Ответ:
Решение:
Машина привезла 4 мешка цемента. Они лежат в кузове стопкой. За раз рабочий может перетащить один мешок из машины к калитке, либо от калитки в сарай. Рабочий может таскать мешки в любом порядке, каждый раз он берёт верхний мешок, несёт его куда надо и кладёт тоже наверх стопки (если там уже есть мешки). Если есть выбор, нести мешок из машины или от калитки, то рабочий выбирает каждый из этих вариантов с вероятностью 0,5. В итоге все мешки оказались в сарае.
а) Какова вероятность того, что в сарае мешки окажутся в обратном порядке по сравнению с тем, как они лежали в машине?
б) Какова вероятность того, что в сарае самым нижним окажется мешок, который в машине был вторым снизу?
а) Какова вероятность того, что в сарае мешки окажутся в обратном порядке по сравнению с тем, как они лежали в машине?
б) Какова вероятность того, что в сарае самым нижним окажется мешок, который в машине был вторым снизу?
Ответ:
Решение:
На турбазу приехали туристы. В первый день туристы знакомились и каждые двое независимо от прочих с вероятностью $p$ обменялись номерами мобильных телефонов. Утром второго дня туристы случайным образом разбились на две группы: в одной 6 человек, а в другой 7 человек. Одна группа ушла в пеший поход, а другая — в водный поход на байдарках. Найдите вероятность того, что группы смогут связаться друг с другом по телефону (внутри каждой группы туристы свободно общаются друг с другом, мобильные телефоны у всех работают, мобильная связь есть).
Ответ:
Решение:
Сергей Петрович заблудился в лесу. Поблуждав, он вышел в точку $S$, где встречаются все лесные тропинки (см. рисунок). Он хочет выйти к посёлку ($A$) или на станцию ($B$), куда из точки $S$ ведут тропинки. Но есть ещё кольцевые тропинки, которые возвращаются в точку $S$. Сергей Петрович пробует тропинки в случайном порядке. При этом он запоминает, где ходил, поэтому если он прошёл по кольцевой тропинке, то второй раз по ней он уже не пойдёт — ни в ту, ни в другую сторону. Путь по каждой тропинке занимает ровно 20 минут. Какова вероятность того, что Сергей Петрович выйдет из леса ровно через 40 минут?
Ответ:
Решение: