Десятичная запись натурального числа $n$ содержит шестьдесят три цифры. Среди этих цифр есть двойки, тройки и четвёрки. Других цифр нет. Число двоек на $22$ больше числа четвёрок. Найти остаток от деления $n$ на $9$.
Ответ:
Решение:
Назовем год замечательным, если номер года делится на сумму двузначных чисел, из которых этот номер составлен. Например, $2025$ год — замечательный, поскольку $2025$ делится на $20+25=45$. Назовите ближайший следующий замечательный год?
Ответ:
Решение:
Сумма пяти подряд идущих двузначных чисел является полным квадратом. Найдите все возможные значения суммы исходных чисел.
Ответ:
Решение:
Сколько существует натуральных чисел $N$ со следующим свойством: если к числу $N$ справа приписать число 6125, то полученное число будет делиться на исходное число $N$?
Ответ:
Решение:
Какую наименьшую сумму могут иметь семь последовательных натуральных чисел, если эта сумма оканчивается на $1234567$?
Ответ:
Решение:
Найдите все целочисленные решения неравенства \[ x^2y^2+y^2z^2+x^2+z^2-38(xy+z)-40(yz+x)+4xyz+761\leqslant 0. \]
Ответ:
Решение:
Существует ли бесконечное множество $S$, состоящее из квадратов натуральных чисел, такое, что для любых двух различных $x$ и $y$ из $S$ найдётся $z$ из $S$ (возможно, совпадающее с $x$ или $y$), для которого $x+y+z$ — квадрат натурального числа?
Ответ:
Решение:
Докажите, что если при $n\in\mathbb{N}$ число $2+2\sqrt{12n^2+1}$ целое, то оно — точный квадрат.
Ответ:
Решение:
Известно, что при некоторых натуральных $a$, $b$ число $N=\dfrac{a^2+b^2}{ab-1}$ — тоже натуральное. Найдите все возможные значения $N$.
Ответ:
Решение:
Квадрат со стороной 12 требуется разрезать (полностью) на четыре квадрата с целочисленной стороной $a$, три квадрата с целочисленной стороной $b$ и десять прямоугольников со сторонами $a$ и $b$. Найдите все значения $a$ и $b$, при которых это возможно.
Ответ:
Решение:
Известно, что $m$, $n$, $k$ — различные натуральные числа, большие 1, число $\log_mn$ рационально, и, кроме того, \[ k^{\sqrt{\log_mn}}=m^{\sqrt{\log_nk}}. \] Найдите минимальное из возможных значений суммы $k+5m+n$.
Ответ:
Решение:
Найдите все решения системы в натуральных числах:\[\begin{cases}a^3+b=c(a^2+b^2),\\ a+b^3=d(a^2+b^2).\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Прямоугольная таблица состоит из 5863 одинаковых клеток. Петя и Вася пронумеровали клетки натуральными числами $1,2,\ldots,5863$ подряд. Петя нумеровал клетки по строкам слева направо (сначала первую строку, затем вторую и т. д.), а Вася — по столбцам сверху вниз (сначала первый столбец, затем второй и т. д.). Оказалось, что ровно в 7 клетках их номера совпали. Чему равна сумма числа строк и числа столбцов в этой таблице?
Ответ:
Решение:
Найдите все пары натуральных чисел $(m,n)$, для которых выполняется равенство\[n(n-1)(n-2)(n-3)=m(m-1).\]
Ответ:
Решение:
На графике приведенного квадратного трехчлена с целыми коэффициентами отмечены две точки с целочисленными координатами. Найдите расстояние между этими точками, если известно, что оно выражается целым числом, а дискриминант квадратного трехчлена равен $4$.
Ответ:
Решение:
Представить число 2020 в виде суммы кубов пяти целых чисел. Доказать, что любое целое число можно представить в виде суммы кубов пяти целых чисел.
Ответ:
Решение:
Для всех целых $k\lt 0$ найти целые решения $x$ и $y$ системы уравнений \[ \begin{cases} x^2+xy^2-ky^2=0,\\ x^2-xy+ky^2=0. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Найдите все тройки целых чисел $(a;b;c)$ такие, что:
- $a\lt b$,
- число $b-a$ не кратно 3,
- число $(a-c)(b-c)$ является квадратом некоторого простого числа,
- выполняется равенство $a^2+b=710$.
Ответ:
Решение: