Сколько решений в целых числах имеет уравнение \[ \sqrt{7x}+17\sqrt{y}=z\sqrt{2023}, \] если $z\leqslant10$?
Ответ:
Решение:
Решить уравнение \[ a^2+2=b!, \] при условии, что $a,b$ принадлежит $\mathbb N$. В ответе указать сумму произведения всех возможных $a$ и произведения всех возможных $b$ (если уравнение не имеет решений, в ответе укажите 0, если бесконечно много решений, укажите 1000).
Ответ:
Решение:
Существует ли натуральное число, квадрат которого равен сумме пяти попарно различных квадратов целых чисел, таких, что среди них есть число $7^2$?
Ответ:
Решение:
Монолитный блок типа $A$ весит 17 кг, а монолитный блок типа $B$ — 7 кг. Можно ли из этих блоков сформировать груз, равный максимальной грузоподъемности крана, которая составляет 317 кг? Если да, то какое наибольшее количество блоков при этом будет поднимать кран?
Ответ:
Решение:
Ваня в вершинах квадрата записал четыре натуральных числа, затем он возле каждой стороны записал произведение чисел в её концах. Проходящей мимо Ксюше Ваня сообщил, что сумма этих произведений равна 143. Ксюша, не смотря на рисунок Вани, немного подумала и назвала сумму чисел в вершинах, с чем Ваня согласился. Какое число назвала Ксюша? Дать обоснованный ответ.
Ответ:
Решение:
Два числа $x$ и $y$ удовлетворяют уравнению $26x^2+23xy-3y^2-19=0$ и являются соответственно шестым и одиннадцатым членами убывающей арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел. Найдите разность этой прогрессии.
Ответ:
Решение:
Про четыре целых числа $a$, $b$, $c$, $d$ известно, что \[ a+b+c+d=ab+bc+cd+da+1. \] Докажите, что модули каких-то двух из этих чисел отличаются на один.
Ответ:
Решение:
Найдите все пары натуральных чисел $(x,y)$, для которых выполнено равенство \[ (x+y)\cdot(x+y+1)+y=2022. \]
Ответ:
Решение:
Коля решил проверить свое знание четырех арифметических действий. Он взял два натуральных числа и нашел их сумму. Потом нашел разность этих чисел — первое число минус второе. Потом нашел произведение этих же чисел. Потом частное от деления первого числа на второе. Сложив все $4$ полученных результата Коля получил $153$. Найдите два числа, над которыми производились действия.
Ответ:
Решение:
Стороны прямоугольного треугольника выражаются натуральными числами, при этом гипотенуза на 1 длиннее одного из катетов. Может ли длина какого-то катета данного треугольника быть равна: а) 2019; б) 2018; в) 2112?
Ответ:
Решение:
Найдите все пары натуральных чисел $(m,n)$, для которых выполнено равенство \[ m^2+mn=n+144. \]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Сколько существует различных прямоугольных треугольников, один из катетов которых равен $\sqrt{1001}$, а другой катет и гипотенуза выражаются натуральными числами?
Ответ:
Решение:
Сколько существует различных прямоугольных треугольников, один из катетов которых равен $\sqrt{2016}$, а другой катет и гипотенуза выражаются натуральными числами?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Решите в натуральных числах уравнение \[ abc+ab+bc+ac+a+b+c=164. \] В ответе укажите произведение $abc$.
Ответ:
Решение:
Длина, ширина и высота прямой прямоугольной призмы выражаются тремя попарно различными натуральными числами. Сумма числовых значений объема призмы, площади ее полной поверхности и суммы длин всех ее ребер равна 2026. Найдите наименьшее возможное значение объема такой призмы.
Ответ:
Решение: