Из множества $M$, состоящего из пяти подряд идущих натуральных чисел, выбираются четвёрки попарно различных чисел такие, что сумма чисел в каждой из четвёрок — простое число. Пусть $p$ и $q$ — две из таких сумм. Найдите множество $M$, если $p^2-q^2=240$.
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее натуральное значение параметра $t$, при котором число \[ 4t^4-96t^2+1 \] является простым.
Ответ:
Решение:
Найдите все тройки натуральных чисел $(A;B;C)$ такие, что:
- $A$ — четырёхзначное число, составленное из одинаковых цифр,
- $B$ — трёхзначное число, хотя бы одна из цифр которого равна 2,
- $C$ — двузначное число, хотя бы одна из цифр которого равна 3,
- произведение $A\cdot B\cdot C$ является квадратом некоторого натурального числа.
Ответ:
Решение:
Сколькими способами можно представить число $n=2^{401}\cdot 3^{500}$ в виде произведения двух натуральных чисел $x$ и $y$, где $y$ делится на $x$?
Ответ:
Решение:
Члены последовательности $\{a_m\}_{m=1}^{\infty}$ определяются по правилу: для каждого натурального $m$ $a_{m+1}=a_m\cdot p_m$, где $p_m\gt 1$ — наименьшее простое число, не делящее $a_m$. Первый член последовательности $a_1=2$. Найти $m$, для которого $a_{m+2}-a_m=29820$.
Ответ:
Решение:
Натуральное число $a$ раскладывается в произведение трех различных простых делителей. Сумма всех его делителей, включая единицу и $a$, равна $72$. Найти число $a$.
Ответ:
Решение:
Для каждого натурального $n$ определим число $\varphi(n)$, равное количеству целых чисел $m$, $1\leqslant m\leqslant n$ взаимно простых с $n$. Найти $\varphi(1947)$.
Ответ:
Решение:
Для каждого натурального $n$ обозначим через $a(n)$ количество целых чисел $m\in[1;n]$ взаимно простых с $n$. Найти простое число $p$, для которого \[ a\left(p^2\right)+a\left(p^3\right)+a\left(p^4\right)+\ldots+a\left(p^{2025}\right)=3^{2025}-3. \]
Ответ:
Решение:
Елку на новогоднем вечере украсили $99$ лампочками по числу приглашенных на праздник гостей. У каждой лампочки имеется отдельный выключатель с двумя положениями (вкл/выкл) и номером от $1$ до $99$. Такие же номера нарисованы на костюмах каждого из гостей. Дед Мороз предложил всем математическую игру: все гости, по очереди, начиная с первого, подходят к выключателям с номерами кратными их собственному номеру и меняют их положение на противоположное. Так, гость с номером $1$ меняет положение всех выключателей, с номером $2$ — только четных и т. д. В начале игры все лампочки были включены. Сколько лампочек оказались включенными после окончания игры?
Ответ:
Решение:
Расстояние между корнями квадратного трёхчлена $x^2+px+q$ равно 1. Найдите коэффициенты $p$ и $q$, если известно, что они являются простыми числами.
Ответ:
Решение:
Сколько существует делителей числа $2021^{2021}$, кубический корень из которых является натуральным числом?
Ответ:
Решение:
Назовем число замечательным, если оно имеет ровно 4 различных натуральных делителя, причем среди них найдутся два таких, что ни один не кратен другому. Сколько существует замечательных двузначных чисел?
Ответ:
Решение:
Назовем число изумительным, если оно имеет ровно 3 различных нечётных натуральных делителя (и произвольное количество чётных). Сколько существует изумительных двузначных чисел?
Ответ:
Решение:
Найдите такое наименьшее натуральное число, что его половина есть пятая степень некоторого целого числа, а пятая часть есть квадрат некоторого целого числа.
Ответ:
Решение:
При каких натуральных $n\gt 1$ найдутся $n$ подряд идущих натуральных чисел, сумма которых равна $2016$?
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее натуральное $n$, обладающее следующим свойством: для любого простого нечётного $p$, меньшего $n$, разность $n-p$ также является простым числом.
Ответ:
Решение:
Можно ли расставить девять различных целых чисел в клетки таблицы $3\times 3$ так, чтобы произведение чисел в каждой строке равнялось $2025$ и произведение чисел в каждом столбце тоже равнялось $2025$?
Ответ:
Решение: