Можно ли число 240 представить в виде суммы девяти двузначных чисел (среди которых могут быть и одинаковые), в десятичной записи каждого из которых есть девятка?
Ответ:
Решение:
Назовём натуральное число интересным, если сумма его цифр — простое число. Какое наибольшее количество интересных чисел может быть среди пяти подряд идущих натуральных чисел?
Ответ:
Решение:
На бесконечной ленте выписаны в порядке возрастания все натуральные числа с суммой цифр 2018. Какое число написано на 225-м месте?
Ответ:
Решение:
У натурального числа $N$ выписали все его делители, затем у каждого из этих делителей подсчитали сумму цифр. Оказалось, что среди этих сумм нашлись все числа от 1 до 9. Найдите наименьшее значение $N$.
Ответ:
Решение:
Произведение цифр натурального числа $n$ равно $x$, а произведение цифр числа $n+1$ равно $y$. Может ли так случиться, что произведение цифр некоторого натурального числа $m$ равно $y-1$, а произведение цифр числа $m+1$ равно $x-1$?
Ответ:
Решение:
Петя взял некоторые трехзначные натуральные числа $a_0$, $a_1$, …, $a_9$ и написал на доске уравнение \[ a_9x^9+a_8x^8+\ldots+a_2x^2+a_1x+a_0=*. \] Докажите, что Вася сможет вместо звездочки написать некоторое 30-значное натуральное число так, чтобы получившееся уравнение имело целый корень.
Ответ:
Решение:
Петя загадал натуральное число $N$, Вася хочет его отгадать. Петя сообщает Васе сумму цифр числа $N+1$, затем сумму цифр числа $N+2$ и т. д. Верно ли, что рано или поздно умный Вася сможет с гарантией установить Петино число?
Ответ:
Решение:
Будем называть натуральное число красивым, если в его десятичной записи поровну цифр 0, 1, 2, а других цифр нет. Может ли произведение двух красивых чисел быть красивым?
Ответ:
Решение:
Изначально на доске записано натуральное число. Затем каждую секунду к текущему числу прибавляют произведение всех его ненулевых цифр. Докажите, что найдётся натуральное $a$ такое, что прибавление числа $a$ случится бесконечное количество раз.
Ответ:
Решение:
Определим последовательность $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\ldots$ формулой $a_n=\left[n^{\frac{2018}{2017}}\right]$. Докажите, что существует такое натуральное число $N$, что среди любых $N$ подряд идущих членов последовательности есть такой, десятичная запись которого содержит цифру 5. (Как обычно, через $[x]$ обозначается наибольшее целое число, не превосходящее $x$.)
Ответ:
Решение:
Докажите, что существует натуральное число $b$ такое, что при любом натуральном $n\gt b$ сумма цифр числа $n!$ не меньше $10^{100}$.
Ответ:
Решение:
Для натурального числа $N$ рассмотрим все различные точные квадраты, которые можно получить из $N$ вычёркиванием одной цифры в его десятичной записи. Докажите, что количество этих квадратов не превосходит некоторой величины, не зависящей от $N$.
Ответ:
Решение:
Даны $2n$-значное натуральное число $a$ и натуральное число $k$. Числа $a$ и $ka$ записали на ленте и каждую из двух записей разрезали на двузначные числа, начиная с последних цифр (при этом числа 00, 01, $\ldots$, 09 здесь тоже считаются двузначными; если в числе $ka$ оказалось нечётное количество цифр, к нему спереди приписали 0). Оказалось, что у числа $a$ полученные двузначные числа строго убывают справа налево (от младших разрядов числа $a$ к старшим), а у числа $ka$ — строго возрастают. Докажите, что $k\geqslant n$.
Ответ:
Решение:
Будем говорить, что мы укоротили число, если стерли его последнюю цифру. Натуральное число, большее миллиона, таково, что если укоротить его, получится квадрат натурального числа, если укоротить этот квадрат, получится куб натурального числа, укоротив этот куб, получим четвёртую степень натурального числа, а, укоротив эту четвёртую степень, получим пятую степень натурального числа. Докажите, что если укоротить эту пятую степень, то получится шестая степень натурального числа.
Ответ:
Решение:
Робинзон Крузо каждый второй день пополняет запасы питьевой воды из источника, каждый третий день собирает фрукты и каждый пятый день ходит на охоту. Сегодня, 13 сентября, у Робинзона тяжёлый день: он должен делать все эти три дела. Когда у Робинзона будет следующий тяжёлый день?
Ответ:
Решение:
В мешке у Деда Мороза находятся меньше ста подарков для Пети, Васи, Бори и Лёши. Дед Мороз отдал половину подарков Пете, пятую часть — Васе, седьмую часть — Боре. Сколько подарков досталось Лёше?
Ответ:
Решение:
Маша и Оля купили в магазине много одинаковых ручек для нового учебного года. Известно, что одна ручка стоит целое число рублей, большее 10. Маша купила ручек ровно на 357 рублей, а Оля — ровно на 441 рубль. Сколько суммарно ручек они купили?
Ответ:
Решение:
Отец и сын несут одинаковые банки консервов. Масса каждой банки выражается целым числом граммов, не меньшим чем 300, но не большим чем 400. Отец несёт 6 кг 500 г, а сын — 2 кг 600 г. Сколько банок у отца и сколько у сына?
Ответ:
Решение:
Расстояние между городами А и Б составляет целое число километров. На дороге между городами каждый километр стоит табличка: на одной стороне написано расстояние до города А, на другой — до города Б. Слава шёл пешком из города А в город Б. В течение своего путешествия Слава посчитал для каждой таблички НОД чисел, написанных на ней. Оказалось, что среди посчитанных НОДов встречаются только числа 1, 3 и 13. Чему равняется расстояние между городами?
Ответ:
Решение:
Ваня загадал два натуральных числа, произведение которых равняется 7200. Какое наибольшее значение может принимать НОД этих чисел?
Ответ:
Решение: