В множество $A$ входят все такие натуральные числа, которые при делении на сумму своих цифр дают целое число, кратное 9 (не обязательно одно и то же для всех этих чисел). Найдите все трехзначные числа, входящие в множество $A$ и, расположив их в порядке возрастания, найдите сумму первого из них, шестого и последнего.
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее натуральное число, оканчивающееся на цифру 2, которое удваивается, если переставить эту цифру в начало.
Ответ:
Решение:
Назовём натуральное число «занимательным», если все его цифры попарно различны и их сумма равна $18$. Найдите сумму занимательнх чисел, не превосходящих $980$.
Ответ:
Решение:
Назовём натуральное число «удивительным», если все его цифры попарно различны и их сумма равна $18$. Найдите сумму удивительнх чисел, не превосходящих $999$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
К каждому члену некоторой конечной последовательности подряд идущих натуральных чисел приписали справа по две цифры и получили последовательность квадратов подряд идущих натуральных чисел. Какое наибольшее число членов могла иметь эта последовательность?
Ответ:
Решение:
Существует ли такое натуральное число $n$, что числа $n$, $n^2$, $n^3$ начинаются на одну и ту же цифру, отличную от единицы?
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее натуральное число, все цифры в десятичной записи которого различны и которое уменьшается в 5 раз, если зачеркнуть первую цифру.
Ответ:
Решение:
Пользуясь равенством $\lg 11=1{,}0413\ldots$, найдите наименьшее число $n\gt 1$, для которого среди $n$-значных чисел нет ни одного, равного некоторой натуральной степени числа 11.
Ответ:
Решение:
У каждого из девяти натуральных чисел $n$, $2n$, $3n$, $\ldots$, $9n$ выписали первую слева цифру. Может ли при некотором натуральном $n$ среди девяти выписанных цифр быть не более четырёх различных?
Ответ:
Решение:
Подряд в строчку выписана 2018 цифр. Известно, что в этой строчке каждое двузначное число, записываемое двумя соседними цифрами (в том порядке, в каком они записаны), делится на 17 или на 23. В этой строчке последняя цифра 5. Какая цифра в строчке первая? Дать обоснованный ответ.
Ответ:
Решение:
Найдите количество шестизначных чисел, обладающих следующим свойством: сумма остатков от деления числа на некоторые две последовательные степени числа десять равна 1234.
Ответ:
Решение:
Пусть $S(n)$ означает сумму цифр натурального числа $n$. Найти наибольшее 100-значное натуральное число $n$, удовлетворяющее условию: для всех натуральных $m$ ($1\leqslant m\leqslant n$) справедливы равенства $S(mn)=S(n)$.
Ответ:
Решение:
Назовём натуральное число счастливым, если все его цифры можно разбить на две группы, сумма цифр в каждой из которых одинакова. Примеры: 38221 ($3+2+2+1=8$), 5678 ($5+8=6+7$). Назовем число суперсчастливым, если оно счастливое и следующее за ним целое число тоже счастливое. Найдите количество суперсчастливых чисел на отрезке $[400;2400]$.
Ответ:
Решение:
В десятичной записи чётного числа $M$ участвуют только цифры $0$, $2$, $4$, $5$, $7$ и $9$, цифры могут повторяться. Известно, что сумма цифр числа $2M$ равняется $35$, а сумма цифр числа $M/2$ равняется $29$. Какие значения может принимать сумма цифр числа $M$? Укажите все возможные ответы.
Ответ:
Решение:
Саша обнаружил, что на калькуляторе осталось ровно $n$ исправных кнопок с цифрами. Оказалось, что любое натуральное число от $1$ до $99999999$ можно либо набрать, используя лишь исправные кнопки, либо получить как сумму двух натуральных чисел, каждое из которых можно набрать, используя лишь исправные кнопки. Каково наименьшее $n$, при котором это возможно?
Ответ:
Решение:
Докажите, что для любого натурального $n$ найдется натуральное число, десятичная запись квадрата которого начинается $n$ единицами, а заканчивается какой-то комбинацией из $n$ единиц и двоек.
Ответ:
Решение:
Существует ли 2016-значное число, перестановкой цифр которого можно получить 2016 разных 2016-значных полных квадратов?
Ответ:
Решение:
При каких натуральных $n$ для всякого натурального $k\geqslant n$ найдётся число с суммой цифр $k$, кратное $n$?
Ответ:
Решение:
Пусть $x$ и $y$ — пятизначные числа, в десятичной записи которых использованы все десять цифр ровно по одному разу. Найдите наибольшее возможное значение $x$, если \[ \operatorname{tg} x^\circ-\operatorname{tg} y^\circ=1+\operatorname{tg} x^\circ\operatorname{tg} y^\circ \] ($x^\circ$ обозначает угол в $x$ градусов).
Ответ:
Решение: