В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ диагонали равны, $\angle ADB=\angle ACD$, $CD=3$, $AD=1$ и $\angle BAD=150^\circ$. Найдите $BC$.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$, в котором $\angle B=60^\circ$. На продолжении стороны $AB$ за точку $B$ отмечена точка $D$, а на стороне $BC$ — точка $E$, причем $AD=CE$. На продолжении отрезка $AE$ за точку $E$ нашлась такая точка $F$, что $AC=CF$ и $DE=EF$. Найдите углы треугольника $DEF$ (укажите все возможные варианты).
Ответ:
Решение:
Правильный пятиугольник и правильный двадцатиугольник вписаны в одну и ту же окружность. Что больше: сумма квадратов длин всех сторон пятиугольника или сумма квадратов длин всех сторон двадцатиугольника?
Ответ:
Решение:
У Сени есть три прямых палки длиной 24 сантиметра каждая. Сеня разломил одну из них на две части так, что из двух кусков этой палки и двух целых палок он смог выложить контур прямоугольного треугольника. Сколько квадратных сантиметров составляет площадь этого треугольника?
Ответ:
Решение:
Прямая $\ell$, пересекающая стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$, разбивает его на равносторонний треугольник и на четырёхугольник. Пусть $X$ и $Y$ — проекции точек $B$ и $C$ на прямую $\ell$. Найдите длину отрезка $XY$, если $AB=20$, $AC=21$.
Ответ:
Решение:
Два равносторонних треугольника с параллельными сторонами расположены так, как показано на рисунке. Оказалось, что расстояния между параллельными сторонами треугольников равны $\sqrt{3}$. Найдите разность периметров этих треугольников.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Окружность с центром в $A$, проходящая через $C$, пересекает гипотенузу в точке $E$, а окружность с центром в $B$, проходящая через $C$, пересекает гипотенузу в точке $D$. Найдите $ED$, если $AD=16$, $BE=50$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ известны углы $\angle B=30^\circ$ и $\angle A=90^\circ$. На стороне $AC$ отмечена точка $K$, а на стороне $BC$ — точки $L$ и $M$ так, что $KL=KM$ (точка $L$ лежит на отрезке $BM$).
Найдите длину отрезка $LM$, если известно, что $AK=4$, $BL=31$, $MC=3$.
Найдите длину отрезка $LM$, если известно, что $AK=4$, $BL=31$, $MC=3$.
Ответ:
Решение: