Дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. На его стороне $AB$ отметили точку $X$ так, что угол $\angle ABC=4\angle ACX$. Точка $M$ — середина стороны $AC$. Найдите длину отрезка $BX$, если известно, что $BC=53$, $BM=40$.
Ответ:
Решение:
Биссектрисы углов $A$ и $C$ разрезают неравнобедренный треугольник $ABC$ на четырёхугольник и три треугольника, причём среди этих трёх треугольников есть два равнобедренных. Найдите углы треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ угол $C$ в 2 раза больше угла $B$, $CD$ — биссектриса. Из середины $M$ стороны $BC$ опущен перпендикуляр $MH$ на отрезок $CD$. На стороне $AB$ нашлась такая точка $K$, что $KMH$ — равносторонний треугольник. Докажите, что точки $M$, $H$ и $A$ лежат на одной прямой.
Ответ:
Решение:
В выпуклом пятиугольнике $ABCDE$ $AB$ параллельно $DE$, $CD=DE$, $CE$ перпендикулярно $BC$ и $AD$. Докажите, что прямая, проходящая через $A$ параллельно $CD$, прямая, проходящая через $B$ параллельно $CE$, и прямая, проходящая через $E$ параллельно $BC$, пересекаются в одной точке.
Ответ:
Решение:
$BM$ — медиана остроугольного треугольника $ABC$. Биссектриса угла $C$ пересекает прямую, проходящую через $A$ параллельно $BC$, в точке $X$. Оказалось, что $BM=MX$. Докажите, что $BC\gt AC$.
Ответ:
Решение:
На продолжении основания $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ за вершину $A$ выбрана точка $K$, а на боковой стороне $AB$ — точка $L$ так, что $KL=LC$. Оказалось, что $KA=LB$. Найдите угол $ABC$.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$. На внешней биссектрисе угла $ABC$ отмечена точка $D$, лежащая внутри угла $BAC$, такая, что $\angle BCD=60^\circ$. Известно, что $CD=2AB$. Точка $M$ — середина отрезка $BD$. Докажите, что треугольник $AMC$ — равнобедренный.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC$) проведена биссектриса $CD$. На основании $AC$ отмечена точка $F$ так, что $BD=CF$. Точка $E$ выбрана таким образом, что четырехугольник $CDEF$ — параллелограмм. Докажите, что $BE=BF$.
Ответ:
Решение:
На боковых сторонах $AB$ и $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ выбраны точки $P$ и $Q$ соответственно так, что $PQ\parallel BC$. На биссектрисах треугольников $ABC$ и $APQ$, исходящих из вершин $B$ и $Q$, выбраны точки $X$ и $Y$ соответственно так, что $XY\parallel BC$. Докажите, что $PX=CY$.
Ответ:
Решение:
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ биссектриса угла $B$ проходит через середину стороны $AD$, а $\angle C=\angle A+\angle D$. Найдите угол $ACD$.
Ответ:
Решение:
На биссектрисе $AL$ треугольника $ABC$ выбрана точка $D$. Известно, что $\angle BAC=2\alpha$, $\angle ADC=3\alpha$, $\angle ACB=4\alpha$. Докажите, что $BC+CD=AB$.
Ответ:
Решение:
Точка $N$ — середина стороны $BC$ треугольника $ABC$, в котором $\angle ACB=60^\circ$. Точка $M$ на стороне $AC$ такова, что $AM=BN$. Точка $K$ — середина отрезка $BM$. Докажите, что $AK=KC$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ ($\angle C=90^\circ$) на катете $BC$ отмечены точки $K$ и $L$ такие, что \[\angle CAK=\angle KAL=\angle LAB.\] На гипотенузе $AB$ отмечена точка $M$ такая, что $ML=KL$. Докажите, что перпендикуляр из точки $C$ на прямую $AK$ не делит отрезок $ML$ пополам.
Ответ:
Решение:
Точка $M$ — середина стороны $AC$ равностороннего треугольника $ABC$. Точки $P$ и $R$ на отрезках $AM$ и $BC$ соответственно выбраны так, что $AP=BR$. Найдите сумму углов $ARM$, $PBM$ и $BMR$.
Ответ:
Решение:
В выпуклом пятиугольнике $ABCDE$ диагонали $AD$ и $CE$ пересекаются в точке $X$. Оказалось, что $ABCX$ — параллелограмм и $BD=CX$; $BE=AX$. Докажите, что $AE=CD$.
Ответ:
Решение:
Дан равносторонний треугольник $ABC$. Точка $D$ выбрана на продолжении стороны $AB$ за точку $A$, точка $E$ — на продолжении $BC$ за точку $C$, а точка $F$ — на продолжении $AC$ за точку $C$ так, что $CF=AD$ и $AC+EF=DE$. Найдите угол $BDE$.
Ответ:
Решение:
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $A$ и $C$ равны $100^\circ$. На сторонах $AB$ и $BC$ выбраны точки $X$ и $Y$ соответственно так, что $AX=CY$. Оказалось, что прямая $YD$ параллельна биссектрисе угла $ABC$. Найдите угол $AXY$.
Ответ:
Решение:
Диагонали выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равны и пересекаются в точке $K$. Внутри треугольников $AKD$ и $BKC$ выбрали точки $P$ и $Q$ соответственно так, что \[ \angle KAP=\angle KDP=\angle KBQ=\angle KCQ. \] Докажите, что прямая $PQ$ параллельна биссектрисе угла $AKD$.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$, в котором $2\angle B-\angle A=180^\circ$. Внутри него выбрана точка $K$, а на его стороне $AB$ — точка $L\neq B$ так, что $\angle ACK=2\angle BCK$ и $BK=KL$. Докажите, что $CK+AL=AC$.
Ответ:
Решение:
На стороне $AC$ треугольника $ABC$ выбрана точка $E$. Биссектриса $AL$ пересекает отрезок $BE$ в точке $X$. Оказалось, что $AX=XE$ и $AL=BX$. Чему равно отношение углов $A$ и $B$ треугольника?
Ответ:
Решение: