Могут ли медиана и биссектриса, проведенные из вершины $A$ остроугольного треугольника $ABC$, делить высоту $BH$ этого треугольника на три равные части?
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ биссектриса угла $B$ пересекает основание $AD$ в точке $L$. Точка $M$ — середина стороны $CD$. Прямая, параллельная $BM$ и проходящая через $L$, пересекает сторону $AB$ в точке $K$. Оказалось, что угол $BLM$ — прямой. Найдите отношение $BK/KA$.
Ответ:
Решение:
На сторонах $AB$, $BC$, $CA$ равностороннего треугольника $ABC$ выбраны точки $K$, $L$, $M$ соответственно так, что $AK=1$, $BL=2$, $CM=3$. Известно, что $\angle MKL=60^\circ$. Найдите сторону треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$. Точки $M$ и $N$ — середины отрезков $AH$ и $CH$ соответственно. В окружности $\Omega$, описанной около треугольника $BMN$, проведён диаметр $BB'$. Докажите, что $AB'=CB'$.
Ответ:
Решение:
Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Оказалось, что точка пересечения медиан треугольника $ABD$ лежит на биссектрисе угла $BCD$. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника $ABC$ лежит на биссектрисе угла $ADC$.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ диагональ $BD$ равна основанию $AD$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $E$. Точка $F$ на отрезке $AD$ выбрана так, что $EF\parallel CD$. Докажите, что $BE=DF$.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$, в котором $\angle A=42^\circ$ и $AB\lt AC$. Точка $K$ на стороне $AC$ такова, что $AB=CK$. Точки $P$ и $Q$ — середины отрезков $AK$ и $BC$ соответственно. Сколько градусов составляет угол $ACB$, если известно, что $\angle PQC=110^\circ$?
Ответ:
Решение:
Диагонали трапеции $ABCD$ ($AD\parallel BC$) пересекаются в точке $K$. Внутри треугольника $ABK$ нашлась такая точка $M$, что $\angle MBC=\angle MAD$, $\angle MCB=\angle MDA$. Докажите, что прямая $MK$ параллельна основаниям трапеции.
Ответ:
Решение:
Внутри параллелограмма $ABCD$ отмечена точка $E$, лежащая на биссектрисе угла $A$, и точка $F$, лежащая на биссектрисе угла $C$. Известно, что середина отрезка $BF$ лежит на отрезке $AE$. Докажите, что середина отрезка $DE$ лежит на прямой $CF$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном неравнобедренном треугольнике $ABC$ проведена высота $AH$, медиана $AM$, а также отмечен центр $O$ его описанной окружности $\omega$. Отрезки $OH$ и $AM$ пересекаются в точке $D$, прямые $AB$ и $CD$ — в точке $E$, прямые $BD$ и $AC$ — в точке $F$. Лучи $EH$ и $FH$ пересекают окружность $\omega$ в точках $X$ и $Y$. Докажите, что прямые $BY$, $CX$ и $AH$ пересекаются в одной точке.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ сторона $AB$ больше стороны $BC$. На продолжении стороны $BC$ за точку $C$ отметили точку $N$ так, что $2BN=AB+BC$. Пусть $BS$ — биссектриса треугольника $ABC$, $M$ — середина стороны $AC$, а $L$ — такая точка на отрезке $BS$, что $ML\parallel AB$. Докажите, что $2LN=AC$.
Ответ:
Решение:
$CK$ — биссектриса треугольника $ABC$. На сторонах $BC$ и $AC$ выбраны точки $L$ и $T$ соответственно такие, что $CT=BL$ и $TL=BK$. Докажите, что треугольник с вершинами в точках $C$, $L$ и $T$ подобен исходному.
Ответ:
Решение:
Вершина $F$ параллелограмма $ACEF$ лежит на стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$. Известно, что $AC=AD$ и $AE=2CD$. Докажите, что $\angle CDE=\angle BEF$.
Ответ:
Решение:
Дан выпуклый четырёхугольник $ABSC$. На диагонали $BC$ выбрана точка $P$ так, что $AP=CP\gt BP$. Точка $Q$ симметрична точке $P$ относительно середины диагонали $BC$, а точка $R$ симметрична точке $Q$ относительно прямой $AC$. Оказалось, что $\angle SAB=\angle QAC$ и $\angle SBC=\angle BAC$. Докажите, что $SA=SR$.
Ответ:
Решение:
На средней линии равностороннего треугольника $ABC$, параллельной стороне $BC$, взята точка $D$. Точка $E$ на продолжении стороны $BA$ за точку $A$ такова, что $\angle ECA=\angle DCA$. Точка $F$ на продолжении стороны $CA$ за точку $A$ такова, что $\angle FBA=\angle DBA$. Докажите, что точка $A$ лежит на средней линии треугольника $DEF$, параллельной стороне $EF$.
Ответ:
Решение:
$CL$ — биссектриса треугольника $ABC$. $CLBK$ — параллелограмм. Прямая $AK$ пересекает отрезок $CL$ в точке $P$. Оказалось, что точка $P$ равноудалена от диагоналей параллелограмма $CLBK$. Докажите, что $AK\geqslant CL$.
Ответ:
Решение:
На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $D$. На стороне $AB$ выбрана точка $P$. Отрезки $PC$ и $AD$ пересекаются в точке $Q$. Точка $R$ — середина отрезка $AP$. Докажите, что существует фиксированная точка $X$, через которую прямая $RQ$ проходит при любом выборе точки $P$.
Ответ:
Решение:
Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$, в котором $AB=BC=CD=4$. На сторонах $AB$ и $CD$ выбраны точки $K$ и $L$ соответственно таким образом, что $AK=DL=1$. На стороне $AD$ снаружи четырёхугольника построен треугольник $AMD$, в котором $AM=MD=2$. Оказалось, что $KL=2$. Докажите, что $BM=CM$.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AB$ на стороне $CB$ выбрана точка $D$ так, что $CD=AC-AB$. Точка $M$ — середина $AD$. Докажите, что угол $BMC$ — тупой.
Ответ:
Решение:
Точки $D$ и $E$ отмечены соответственно на сторонах $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ так, что $AD=EC$. Оказалось, что $BD=ED$, $\angle BDC=\angle DEB$. Найдите длину отрезка $AC$, если известно, что $AB=7$ и $BE=2$.
Ответ:
Решение: