Вершины правильного 25-угольника пронумерованы по порядку. В первой вершине находится крупинка сахара, а в третьей вершине сидит муравей. В какой-то момент он начинает беспорядочно ползать из вершины в вершину. Ровно за одну минуту он переползает из вершины, где находился, в соседнюю вершину. Направление дальнейшего движения в каждой вершине он выбирает случайно. Блуждание заканчивается, как только муравей найдет крупинку сахара. Найдите математическое ожидание случайной величины «продолжительность блуждания».
Ответ:
Решение:
Правильная игральная кость бросается много раз. Известно, что в какой-то момент сумма очков стала равна ровно 2010. Найдите математическое ожидание числа бросков, сделанных к этому моменту.
Ответ:
Решение:
Проезд в маршрутке стоит 75 рублей. Пятнадцать пассажиров заходят поодиночке и между собой деньгами не меняются. С вероятностью $0{,}5$ пассажир даёт водителю купюру 100 рублей и получает 25 рублей сдачи монетами по 5 или 10 рублей, а с вероятностью $0{,}5$ пассажир даёт водителю 50 рублей одной купюрой и 25 рублей монетами.
а) Перед рейсом у водителя монет не было вообще. Какова вероятность того, что водитель сможет немедленно дать сдачу каждому, кто расплачивается купюрой 100 рублей?
б) Какую сумму монетами должен иметь водитель перед выездом, чтобы с вероятностью не менее $0{,}95$ иметь возможность немедленно дать сдачу всем пассажирам, расплатившимся сторублёвкой?
а) Перед рейсом у водителя монет не было вообще. Какова вероятность того, что водитель сможет немедленно дать сдачу каждому, кто расплачивается купюрой 100 рублей?
б) Какую сумму монетами должен иметь водитель перед выездом, чтобы с вероятностью не менее $0{,}95$ иметь возможность немедленно дать сдачу всем пассажирам, расплатившимся сторублёвкой?
Ответ:
Решение:
Петя предлагает Васе сыграть в следующую игру. Петя дает Васе две коробки с конфетами. В каждой из двух коробок шоколадные конфеты и карамельки. Всего в обеих коробках 25 конфет. Петя предлагает Васе взять из каждой коробки по конфете. Если обе конфеты окажутся шоколадными, то Вася выиграл. В противном случае выиграл Петя. Вероятность того, что Васе достанутся две карамельки, равна $0{,}54$. У кого больше шансов на победу?
Ответ:
Решение:
40 % приверженцев некоторой политической партии являются женщинами. 70 % приверженцев этой партии — городские жители. При этом 60 % горожан, поддерживающих партию, — мужчины. Являются ли независимыми события «приверженец партии — горожанин» и «приверженец партии — женщина»?
Ответ:
Решение:
Аня ждёт автобус. Какое событие имеет наибольшую вероятность? А = {Аня ждет автобуса не меньше минуты} Б = {Аня ждет автобуса не меньше двух минут} В = {Аня ждет автобуса не меньше пяти минут}
Ответ:
Решение:
Аня на остановке ждет автобуса. Какое из перечисленных событий имеет наибольшую вероятность?
1) $A$ = «Аня ждет автобуса не меньше минуты»;
2) $B$ = «Аня ждет автобуса не меньше двух минут»;
3) $C$ = «Аня ждет автобуса не меньше пяти минут»;
4) $D$ = «Аня ждет автобуса не меньше двух, но не больше пяти минут».
1) $A$ = «Аня ждет автобуса не меньше минуты»;
2) $B$ = «Аня ждет автобуса не меньше двух минут»;
3) $C$ = «Аня ждет автобуса не меньше пяти минут»;
4) $D$ = «Аня ждет автобуса не меньше двух, но не больше пяти минут».
Ответ:
Решение:
Сергей на спор заявил, что выбросит на двух игральных костях в сумме ровно 9 очков не более чем за три попытки (имеется в виду сумма очков на двух костях в одной из попыток). Найдите вероятность того, что ему удастся это сделать.
Ответ:
Решение:
Одновременно бросили две правильные игральные кости. Известно, что сумма выпавших очков делится на 3. Найдите вероятность того, что хотя бы на одной из костей выпало шесть очков.
Ответ:
Решение:
Среди учеников школы каждый четвёртый участвовал в олимпиаде по вероятности. Известно, что среди участников 35 % девочек. Считая, что события «школьник участвовал в олимпиаде» и «школьник — девочка» независимы, найдите вероятность того, что случайно выбранный мальчик из этой школы не участвовал в олимпиаде.
Ответ:
Решение:
В инструкции к лекарству написано, что возможны следующие побочные эффекты:
- часто (с вероятностью от 1/100 до 1/10) — головная боль;
- нечасто (от 1/1000 до 1/100) — тошнота;
- редко (от 1/10000 до 1/1000) — вазомоторное расстройство.
Ответ:
Решение:
В школьном футбольном турнире участвуют 8 команд, одинаково хорошо играющих в футбол. Каждая игра заканчивается победой одной из команд. Случайно выбираемый по жребию номер определяет положение команды в турнирной таблице:
Какова вероятность того, что команды «А» и «В»:
а) встретятся в полуфинале;
б) встретятся в финале.
Какова вероятность того, что команды «А» и «В»:
а) встретятся в полуфинале;
б) встретятся в финале.
Ответ:
Решение:
В соревнованиях по пиханию животами шансы противников на победу относятся так же, как массы их тел. Юмбо весит больше Джумбо, а Пинк весит меньше Бонка. Ничьей в поединке быть не может. Юмбо и Джумбо по очереди должны пихаться с Пинком и Бонком. Какое из событий более вероятно:
$A$ = «Юмбо победит только Пинка, а Джумбо — только Бонка»
или
$B$ = «Юмбо победит только Бонка, а Джумбо — только Пинка»?
$A$ = «Юмбо победит только Пинка, а Джумбо — только Бонка»
или
$B$ = «Юмбо победит только Бонка, а Джумбо — только Пинка»?
Ответ:
Решение:
В финал конкурса спектаклей к 8 марта вышли два спектакля. В первом играли $n$ учеников 5 класса А, а во втором — $n$ учеников 5 класса Б. На спектакле присутствовали $2n$ мам всех $2n$ учеников. Лучший спектакль выбирается голосованием мам. Известно, что каждая мама с вероятностью $\frac12$ голосует за лучший спектакль и с вероятностью $\frac12$ — за спектакль, в котором участвует её ребенок.
а) Найдите вероятность того, что лучший спектакль победит с перевесом голосов.
б) Тот же вопрос, если в финал вышло больше двух классов.
а) Найдите вероятность того, что лучший спектакль победит с перевесом голосов.
б) Тот же вопрос, если в финал вышло больше двух классов.
Ответ:
Решение:
Остап Бендер играет в шахматы с Чемпионом Васюков, Чемпионом России и Чемпионом Мира. По правилам, чтобы стать Абсолютным Чемпионом, Остапу нужно выиграть две игры подряд. Бендер имеет право выбирать, в каком порядке ему играть с соперниками. Какой порядок для Остапа выгоднее?
Ответ:
Решение:
Муха выползает из начала координат (см. рисунок) и движется вдоль линий целочисленной сетки либо вправо, либо вверх. В каждом узле сетки муха чисто случайно принимает решение — куда ей ползти дальше: вправо или вверх. Известно, что в какой-то момент муха попала в точку $A$. Найдите вероятность того, что по дороге муха побывала в точке $B$.
Ответ:
Решение:
Одна коробка с конфетами большая, другая — поменьше. В этих коробках лежат шоколадные конфеты и карамельки, неотличимые на ощупь. Петя предлагает Васе разыграть большую коробку. Вася должен, не глядя, выбрать из каждой коробки по конфете. Если обе конфеты окажутся шоколадными, то Вася выиграл. В противном случае выиграл Петя. Известно, что вероятность того, что Васе достанутся две карамельки, равна 0,5. Может ли быть, что вероятности выигрыша Васи и Пети одинаковы? Объясните ответ.
Ответ:
Решение:
Сова утверждает, что в среднем три шнурка из четырёх, которые можно найти в лесу, ей не нужны, поскольку они слишком длинные для дверного звонка. Иа утверждает, что в среднем четыре из пяти шнурков из леса ему не нужны, поскольку они слишком короткие, чтобы сделать из них хвост для ослика. Оба правы. Какова вероятность того, что случайно найденный в лесу шнурок не нужен ни Сове, ни Иа?
Ответ:
Решение:
Есть три карточки. Обе стороны первой карточки — синие. Обе стороны второй карточки — красные, а стороны третьей карточки разных цветов: одна синяя, а другая красная. Выбирают случайную карточку и поворачивают её случайной стороной вверх. Эта сторона оказалась синяя. Какова вероятность того, что другая сторона тоже синяя?
Ответ:
Решение:
К юбилею Санкт-Петербургских математических олимпиад монетный двор отчеканил три юбилейные монеты. Одна монета получилась правильно, у второй монеты на обеих сторонах оказалось два орла, а у третьей обе стороны — решки. Директор монетного двора не глядя выбрал одну из этих трёх монет и бросил её наудачу. Выпал орёл. Чему равна вероятность того, что на второй стороне этой монеты тоже орёл?
Ответ:
Решение: