Миша выписал на доску $7$ подряд идущих натуральных чисел и сложил их. Оказалось, что эта сумма заканчивается на $1230123$. Какое наименьшее число могло быть среди выписанных на доске?
Ответ:
Решение:
Найти наибольшее целое трехзначное число $n$, для которого число $15n^2+13n+2$ делится на $49$.
Ответ:
Решение:
На доске было написано 21 последовательное натуральное число. Когда одно из чисел стёрли, сумма оставшихся стала равна 2017. Какое число стёрли?
Ответ:
Решение:
В десятичной записи натурального числа, состоящей только из цифр 4 и 5, количество цифр 5 нечётно и на 17 больше количества цифр 4. Найдите все возможные остатки от деления этого числа на 9.
Ответ:
Решение:
Сколько существует пятизначных чисел вида $\overline{ab16c}$, кратных 16? ($a$, $b$, $c$ — произвольные цифры, не обязательно разные.)
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Будем обозначать $\overline{abc}$ трехзначные числа, записанные цифрами $a$, $b$, $c$. Сколько существует трехзначных чисел, таких, что разность $\overline{abc}-\overline{acb}$ делится на $72$ без остатка?
Ответ:
Решение:
Назовем год замечательным, если номер года делится на сумму двузначных чисел, из которых этот номер составлен. Например, 2025 год — замечательный, поскольку 2025 делится на $20+25=45$. Сколько ещё замечательных годов в XXI веке (с 2001 по 2100 год включительно)?
Ответ:
Решение:
Существует ли арифметическая прогрессия из $2011$ натуральных чисел, в которой количество чисел, делящихся на $8$, меньше, чем количество чисел, делящихся на $9$, а последнее, в свою очередь, меньше, чем количество чисел, делящихся на $10$?
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее натуральное число, кратное $80$, в котором можно так переставить две его различные цифры, что получившееся число также будет кратно $80$.
Ответ:
Решение:
Приведите пример девятизначного натурального числа, которое делится на $2$, если зачеркнуть вторую (слева) цифру, на $3$ — если зачеркнуть в исходном числе третью цифру, $\ldots$, делится на $9$, если в исходном числе зачеркнуть девятую цифру.
Ответ:
Решение:
Приведите пример числа, делящегося на 2020, в котором каждая из десяти цифр встречается одинаковое количество раз.
Ответ:
Решение:
На доске записано натуральное число. Если у него стереть последнюю цифру (в разряде единиц), то останется ненулевое число, которое будет делиться на $20$, а если первую — то на $21$. Какое наименьшее число может быть записано на доске, если его вторая цифра не равна $0$?
Ответ:
Решение:
Дано число $5300\ldots0035$ (100 нулей). Требуется заменить некоторые два нуля на ненулевые цифры так, чтобы после замены получилось число, делящееся на 495. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ:
Решение:
Дана последовательность $y_n=n(n+1)$. Известно, что разность двух членов этой последовательности с номерами $k$ и $l$ ($l\lt 125\lt k$) делится на $3^{11}$. Найдите наименьшее возможное значение суммы $l+k$.
Ответ:
Решение:
На доске написано число $987\,656\,789$. Вася заменил в нём какие-то $4$ цифры так, что получилось минимально возможное девятизначное число, делящееся на $275$. Найдите это число.
Ответ:
Решение:
В окружность вписан правильный $24000$-угольник $A_1A_2\ldots A_{24000}$. Вася начинает движение из точки $A_1$ и обходит окружность в направлении увеличения номеров вершин несколько раз. В процессе обхода он вычёркивает эти вершины: во время первого обхода вычёркиваются все $A_k$ с чётными номерами, во время второго — все те из оставшихся, номера которых делятся на три, на третий обход вычёркиваются те вершины, номера которых делятся на три, на третий обход вычёркиваются те вершины, номера которых делятся на четыре и так далее. Найдите номер вершины, которую Вася вычеркнет $16003$-ей.
Ответ:
Решение:
Доказать, что выражение $2\cdot6^n-25n^2+15n-2$ делится без остатка на $125$ при любом натуральном $n\gt 1$.
Ответ:
Решение: