В треугольнике $ABC$ длины сторон равны $4$, $5$ и $\sqrt{17}$. Найдите площадь фигуры, состоящей из тех и только тех точек $X$ внутри треугольника $ABC$, для которых выполняется условие $XA^2+XB^2+XC^2\leqslant 21$.
Ответ:
Решение:
Плоская фигура $W$ представляет собой множество всех точек, координаты которых $(x,y)$ удовлетворяют неравенству \[ \bigl(|x|+\bigl|4-|y|\bigr|-4\bigr)^2\leqslant4. \] Нарисуйте фигуру $W$ и найдите её площадь.
Ответ:
Решение:
Изобразите на координатной плоскости множество точек $(a,b)$ таких, что система уравнений \[ \begin{cases} x^2+y^2=a^2,\\ x+y=b \end{cases} \] имеет хотя бы одно решение.
Ответ:
Решение:
Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости системой \[ \begin{cases} 3^{\sqrt x}-3^{2\sqrt y}\geqslant 2\sqrt y-\sqrt x,\\ x^2+y^2\leqslant 9+2xy. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости неравенством \[\sqrt{\arcsin x}\leqslant\sqrt{\arccos y}\,.\]
Ответ:
Решение:
Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости неравенством \[\bigl||x|-6\bigr|+\bigl||y|-7\bigr|\leqslant 10.\]
Ответ:
Решение:
Живописец закрасил акварелью полумесяц на клетчатой бумаге. Контур полумесяца состоит из двух дуг — одна от окружности с центром в $(0;0)$, проходящей через $(0;1)$, другая — от окружности с центром в $(1;0)$, проходящей через $(0;1)$.
К утру краска расплылась так, что каждая точка полумесяца превратилась в круг радиуса $0.5$. Найдите площадь получившейся фигуры.
К утру краска расплылась так, что каждая точка полумесяца превратилась в круг радиуса $0.5$. Найдите площадь получившейся фигуры.
Ответ:
Решение:
Найдите площадь плоской фигуры, границы которой описываются уравнением\[\Bigl|\bigl|y\bigr|+\bigl||x|-4\bigr|-4\Bigr|=1.\]
Ответ:
Решение:
Найдите площадь плоской фигуры, границы которой описываются уравнением \[ \Bigl|\,|x|+\bigl||y|-3\bigr|-3\Bigr|=1. \]
Ответ:
Решение:
Определите, под каким углом видно из начала координат (т. е. внутри какого наименьшего угла с вершиной в точке $(0,0)$ помещается) множество, заданное на координатной плоскости неравенством \[ 14x^2+xy+y^2+14x+2y+4\lt 0. \]
Ответ:
Решение:
Координаты $(x;y)$ вершин треугольника $ABC$ являются решениями уравнения \[ |\cos(x-2y)|=-|\cos(x+y)|. \] Найти наименьшее возможное значение площади треугольника.
Ответ:
Решение:
Пусть $M$ — фигура на декартовой плоскости, состоящая из всех точек $(x;y)$ таких, что существует пара вещественных чисел $a$, $b$, при которых выполняется система неравенств \[ \begin{cases} (x-a)^2+(y-b)^2\leqslant 2,\\ a^2+b^2\leqslant\min(2a+2b;2). \end{cases} \] Найдите площадь фигуры $M$.
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости рассматривается фигура $M$, состоящая из всех точек, координаты $(x;y)$ которых удовлетворяют системе неравенств \[ \begin{cases} x-y\geqslant|x+y|,\\ \dfrac{x^2-6x+y^2-8y}{3y-x+6}\geqslant0. \end{cases} \] Изобразите фигуру $M$ и найдите ее площадь.
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости рассматривается фигура $M$, состоящая из всех точек, координаты $(x;y)$ которых удовлетворяют системе неравенств \[ \begin{cases} |y|+|4+y|\leqslant4,\\ \dfrac{x-y^2-4y-3}{2y-x+3}\geqslant0. \end{cases} \] Изобразите фигуру $M$ и найдите ее площадь.
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости рассматривается фигура $M$, состоящая из всех точек, координаты $(x;y)$ которых удовлетворяют системе неравенств \[ \begin{cases} y-x\geqslant|x+y|,\\ \dfrac{x^2+8x+y^2+6y}{2y-x-8}\leqslant 0.\end{cases} \] Изобразите фигуру $M$ и найдите её площадь.
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости рассматривается фигура $M$, состоящая из всех точек, координаты $(x;y)$ которых удовлетворяют системе неравенств \[ \begin{cases} |x-1|+|5-x|\leqslant 4,\\ \dfrac{x^2-6x+2y+7}{y+x-4}\leqslant 0.\end{cases} \] Изобразите фигуру $M$ и найдите её площадь.
Ответ:
Решение:
а) Изобразите на координатной плоскости фигуру $\Phi$, координаты точек которой удовлетворяют системе неравенств \[ \begin{cases} x^2-y^2\leqslant 2(x-y),\\ x^2+y^2\leqslant 4(x+y-1).\end{cases} \]
б) Найдите площадь фигуры $\Phi$ и расстояние от точки $T(0,4)$ до ближайшей точки фигуры $\Phi$.
б) Найдите площадь фигуры $\Phi$ и расстояние от точки $T(0,4)$ до ближайшей точки фигуры $\Phi$.
Ответ:
Решение:
Изобразите на плоскости $(x,y)$ множество точек, удовлетворяющих уравнению \[ |5x|+|12y|+|60-5x-12y|=60, \] и найдите площадь полученной фигуры.
Ответ:
Решение:
Изобразите на плоскости $(x,y)$ множество точек, координаты которых удовлетворяют системе \[ \begin{cases} (|x|+x)^2+(|y|-y)^2\leqslant 16,\\ y-3x\leqslant 0, \end{cases} \] и найдите площадь полученной фигуры.
Ответ:
Решение:
Изобразите на плоскости $(x,y)$ множество точек, удовлетворяющих уравнению \[ \left|16+6x-x^2-y^2\right|+|6x|=16+12x-x^2-y^2, \] и найдите площадь полученной фигуры.
Ответ:
Решение: