Павел поймал 32 рака и решил их продать на рынке. Когда у него купили часть улова, то оказалось, что покупатель заплатил за каждого на 4,5 рубля меньше, чем то количество раков, которое осталось лежать на прилавке. При этом мальчик заработал наибольшую сумму денег из всех возможных. Сколько денег заработал Павел? Сколько раков он продал?
Ответ:
Решение:
Мимо бассейна объёмом 400 м$^3$ литров воды шли 37 слонов. Часть из них решило освежиться. После их водных процедур выяснилось, что в среднем каждый слон использовал столько кубометров воды, сколько слонов не участвовали в купании. Известно, что в бассейне остался наименьший из возможных объём воды. Определите, какой объём воды остался в бассейне, сколько воды было израсходовано. Какое наибольшее количество слонов при таких условиях могло участвовать в купании?
Ответ:
Решение:
Две параболы $y=5x^2+ax+b$ и $y=-4x^2+cx+d$ касаются в точке, лежащей на оси $Ox$. Через точку $D$ — вторую точку пересечения первой параболы с осью $Ox$ — проведена вертикальная прямая, пересекающая вторую параболу в точке $A$, а общую касательную к параболам — в точке $B$. Найдите отношение $BD:AB$.
Ответ:
Решение:
График квадратичной функции $f(x)=x^2+2px-p^2+7p-2015$ пересекает координатные оси в трёх точках $A$, $B$ и $C$. Найдите значение $p$, при котором произведение длин отрезков $OA\cdot OB\cdot OC$ будет наименьшим.
Ответ:
Решение:
Пусть $f(x)=x^2+px+q$, где $p$, $q$ — некоторые коэффициенты. На какую наименьшую величину может отличаться наибольшее значение функции $g(x)=|f(x)|$ от наименьшего значения этой функции на отрезке $[2;6]$?
Ответ:
Решение:
Пусть $F(x)=x^2+ax+b$, где $a$, $b$ — некоторые коэффициенты. На какую наименьшую величину может отличаться наибольшее значение функции $G(x)=|F(x)|$ от наименьшего значения этой функции на отрезке $[-1;5]$?
Ответ:
Решение:
Космический зонд, двигаясь прямолинейно с постоянной скоростью, пролетает мимо Марса и каждый день ровно в 12:00 замеряет расстояние до этой планеты. Известно, что 1-го февраля расстояние было $5$ млн. км, 10-го февраля — $2$ млн. км и 13-го февраля — $3$ млн. км. Определите, когда зонд пройдет на минимальном расстоянии от Марса. В этой задаче Марс можно считать точкой.
Ответ:
Решение:
Графики квадратного трёхчлена и его производной разбивают координатную плоскость на четыре части. Сколько корней имеет этот квадратный трёхчлен?
Ответ:
Решение:
Во всем мире популярна игра в хоккей. Многое в игре зависит от вратаря. Для отработки навыков вратарей и обеспечения тренировочного процесса, который бы не зависел от других игроков, создали шайбомет. Автомат можно настроить так, чтобы он выбрасывал шайбы с заданной временной частотой, скоростью и под определенным углом.
Пусть линия ворот находится на расстоянии 25 м от центральной точки $O$ хоккейной площадки. Автомат установлен на расстоянии $d=16$ м от точки $O$ по направлению к воротам, скорость выброса шайбы равна $V_0=20$ м/с. Броски производятся в плоскости, перпендикулярной поверхности льда и линии ворот. При этом для обеспечения безопасности траектория вылетающих шайб должна, с одной стороны, находиться не выше прямой линии, соединяющей центр ледовой площадки $O$ с точкой, находящейся в плоскости полета шайб, в плоскости ворот, и на расстоянии одного метра от поверхности льда, а с другой стороны — должна пересекать плоскость ворот по нисходящей ветви траектории.
Определите максимально возможное значение тангенса угла, под которым могут вылетать шайбы из шайбомета, если траектория движения шайбы, рассматриваемой как материальная точка, в плоскости ее полета в системе координат с центром в $O$ и осью абсцисс, направленной вдоль поверхности льда, описывается уравнениями: \[ \begin{cases} x=d+V_0t\cos\alpha,\\ y=V_0t\sin\alpha-\dfrac{gt^2}{2}. \end{cases} \] Для упрощения вычислений считать, что ускорение свободного падения $g=10$ м/с$^2$.
Пусть линия ворот находится на расстоянии 25 м от центральной точки $O$ хоккейной площадки. Автомат установлен на расстоянии $d=16$ м от точки $O$ по направлению к воротам, скорость выброса шайбы равна $V_0=20$ м/с. Броски производятся в плоскости, перпендикулярной поверхности льда и линии ворот. При этом для обеспечения безопасности траектория вылетающих шайб должна, с одной стороны, находиться не выше прямой линии, соединяющей центр ледовой площадки $O$ с точкой, находящейся в плоскости полета шайб, в плоскости ворот, и на расстоянии одного метра от поверхности льда, а с другой стороны — должна пересекать плоскость ворот по нисходящей ветви траектории.
Определите максимально возможное значение тангенса угла, под которым могут вылетать шайбы из шайбомета, если траектория движения шайбы, рассматриваемой как материальная точка, в плоскости ее полета в системе координат с центром в $O$ и осью абсцисс, направленной вдоль поверхности льда, описывается уравнениями: \[ \begin{cases} x=d+V_0t\cos\alpha,\\ y=V_0t\sin\alpha-\dfrac{gt^2}{2}. \end{cases} \] Для упрощения вычислений считать, что ускорение свободного падения $g=10$ м/с$^2$.
Ответ:
Решение:
Во всем мире популярна игра в хоккей. Многое в игре зависит от вратаря. Для отработки навыков вратарей и обеспечения тренировочного процесса, который бы не зависел от других игроков, создали шайбомет. Автомат можно настроить так, чтобы он выбрасывал шайбы с заданной временной частотой, скоростью и под определенным углом.
Пусть автомат установлен на льду на расстоянии $l=12$ м от ворот. Броски производятся в плоскости, перпендикулярной поверхности льда и линии ворот, с некоторой фиксированной начальной скоростью выброса шайбы $V_0$ и под различными углами $\alpha$ к поверхности льда. Примем точку выброса за начало отсчета системы координат. Ось абсцисс направим перпендикулярно центральной линии хоккейной площадки в сторону ворот. Ось ординат — вверх, перпендикулярно поверхности льда. В распоряжении вратаря имеется ловушка для шайб, изображенная на рисунке точкой $M$. Траектория движения шайбы, находящейся в воздухе и рассматриваемой как материальная точка, в зависимости от времени $t$ в указанной системе координат описывается уравнениями: \[ \begin{cases} x=V_0t\cos\alpha,\\ y=V_0t\sin\alpha-\dfrac{gt^2}{2}. \end{cases} \] Определите диапазон возможных значений квадрата начальной скорости выброса шайбы, при каждом из которых шайба попадает в ловушку и максимально возможная высота ловушки в моменты захвата шайбы не превосходит 1 м. Для упрощения вычислений считать, что ускорение свободного падения $g=10$ м/с$^2$.
Пусть автомат установлен на льду на расстоянии $l=12$ м от ворот. Броски производятся в плоскости, перпендикулярной поверхности льда и линии ворот, с некоторой фиксированной начальной скоростью выброса шайбы $V_0$ и под различными углами $\alpha$ к поверхности льда. Примем точку выброса за начало отсчета системы координат. Ось абсцисс направим перпендикулярно центральной линии хоккейной площадки в сторону ворот. Ось ординат — вверх, перпендикулярно поверхности льда. В распоряжении вратаря имеется ловушка для шайб, изображенная на рисунке точкой $M$. Траектория движения шайбы, находящейся в воздухе и рассматриваемой как материальная точка, в зависимости от времени $t$ в указанной системе координат описывается уравнениями: \[ \begin{cases} x=V_0t\cos\alpha,\\ y=V_0t\sin\alpha-\dfrac{gt^2}{2}. \end{cases} \] Определите диапазон возможных значений квадрата начальной скорости выброса шайбы, при каждом из которых шайба попадает в ловушку и максимально возможная высота ловушки в моменты захвата шайбы не превосходит 1 м. Для упрощения вычислений считать, что ускорение свободного падения $g=10$ м/с$^2$.
Ответ:
Решение:
Найдите положительное число $p$, такое, что прямая $y=4x+p$ и координатные оси образуют треугольник, площадь которого равна $72$.
Ответ:
Решение:
Для заданных значений $a$, $b$, $c$ и $d$ оказалось, что графики функций \[y=2a+\frac{1}{x-b}\quad\text{и}\quad y=2c+\frac{1}{x-d}\] имеют ровно одну общую точку. Докажите, что графики функций \[y=2b+\frac{1}{x-a}\quad\text{и}\quad y=2d+\frac{1}{x-c}\] также имеют ровно одну общую точку.
Ответ:
Решение:
При каких $a$
- уравнение $f(f(x))=x$ имеет бесконечное число решений;
- уравнение $f(f(f(f(x))))=x$ имеет бесконечное число решений
Ответ:
Решение:
Существует ли на координатной плоскости точка, относительно которой симметричен график функции \[ f(x)=\dfrac{1}{2^x+1}? \]
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости нарисован квадрат, все вершины которого лежат на графике функции $y=x^5+ax$. Известно, что одна из диагоналей квадрата лежит на прямой $y=-3x$, а центр совпадает с началом координат. Найдите значение параметра $a$ и сторону квадрата.
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости нарисован квадрат, все вершины которого лежат на графике функции $y=x^3-ax$. Известно, что одна из диагоналей квадрата лежит на прямой $y=-4x$, а центр совпадает с началом координат. Найдите значение параметра $a$ и площадь квадрата.
Ответ:
Решение:
Проекции некоторой кривой в координатном пространстве на плоскости $Oxz$ и $Oyz$ удовлетворяют уравнениям $5x+\cos z=0$ и $z=\mathrm{arctg}\sqrt{y-3}$ соответственно. Найдите функцию $y=f(x)$, график которой состоит из тех и только тех точек, которые могли бы при этих условиях служить проекциями точек той же кривой на плоскость $Oxy$.
Ответ:
Решение:
Есть функция \[ f(x)=\frac{1}{\sqrt[5]{1-x^5}}. \] Вычислите \[ f(f(f(f(f(\ldots f(2022))))\ldots)), \] где функция $f$ применяется 1303 раза.
Ответ:
Решение:
Будем обозначать $f^{(n)}(x)$ последовательное применение $n$ раз функции $f$ (например, $f^{(2)}(x)=f(f(x))$ и т. д.). Даны функции $g(x)=\dfrac{1}{x+1}$ и $h(x)=\dfrac{x+1}{x}$. Найдите значение выражения \[ g^{(2015)}(100)\cdot h^{(2015)}(1/100). \]
Ответ:
Решение:
Кривая на плоскости в некоторой системе координат (декартовой) служит графиком функции $y=\sin x$. Может ли та же кривая являться графиком функции $y=\sin^2x$ в другой системе координат: если да, то каковы её начало координат и единицы длины на осях (относительно исходных координат и единиц длины)?
Ответ:
Решение: