За круглым столом сидят $n$ человек: рыцарей, всегда говорящих правду, и лжецов, которые всегда лгут. Каждый из них знает про остальных, кто рыцарь, а кто — лжец. Журналист задал каждому из сидящих вопрос: «Кто ваш правый сосед, рыцарь или лжец?», и от каждого получил либо ответ «рыцарь», либо ответ «лжец». Журналисту было известно, что лжецов за столом ровно 8. Но все равно оказалось, что по полученным ответам невозможно точно установить, кто из сидящих — лжецы. Чему могло быть равно $n$?
Ответ:
Решение:
За круглым столом сидят 100 человек. Каждый из них либо рыцарь, либо лжец, либо чудак. Рыцарь всегда говорит правду, лжец всегда лжет. Чудак говорит
- правду, если слева от него сидит лжец;
- ложь, если слева от него сидит рыцарь;
- все что угодно, если слева от него сидит чудак.
Ответ:
Решение:
В городе лжецов и рыцарей 366 жителей, все родились в разные дни високосного года. Все жители города ответили на два вопроса.
- На вопрос «Вы родились в феврале?» утвердительно ответили 100 человек,
- а на вопрос «Вы родились 30-го числа?» утвердительно ответили 60 человек.
Ответ:
Решение:
На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Однажды собралось несколько жителей острова, и каждый из них произнёс по одной фразе:
- Один сказал: «Среди нас не более 9 рыцарей».
- Двое сказали: «Среди нас не более 8 рыцарей».
- Трое сказали: «Среди нас не более 7 рыцарей».
- …
- Девять человек сказали: «Среди нас не более 1 рыцаря».
- А все остальные сказали: «Среди нас не более 10 рыцарей».
Ответ:
Решение:
В очереди в буфет стоят 30 человек, у каждого из них есть целое неотрицательное число рублей — суммарно у всех ровно $N$ рублей. Все они по порядку пронумерованы числами от 1 до 30 (т. е. человек №1 находится в начале очереди, а человек №30 — в конце).
Каждый человек в очереди знает, сколько денег у каждого из остальных. Человек №1 сказал: «У меня есть 10 рублей», а все остальные сказали: «У меня на 10 рублей больше, чем у человека передо мной». Оказалось, что ровно один из стоящих в очереди соврал.
1. Какое наименьшее значение может принимать $N$?
2. В случае наименьшего возможного значения $N$ какой номер мог иметь совравший человек? Укажите все возможные варианты.
Каждый человек в очереди знает, сколько денег у каждого из остальных. Человек №1 сказал: «У меня есть 10 рублей», а все остальные сказали: «У меня на 10 рублей больше, чем у человека передо мной». Оказалось, что ровно один из стоящих в очереди соврал.
1. Какое наименьшее значение может принимать $N$?
2. В случае наименьшего возможного значения $N$ какой номер мог иметь совравший человек? Укажите все возможные варианты.
Ответ:
Решение:
На острове живут лжецы, которые всегда лгут, и хитрецы, которые могут говорить что угодно. Однажды 30 жителей острова собрались на заседание. Все они по очереди сделали заявления:
- 1-й человек: «Среди нас менее 1 хитреца»;
- 2-й человек: «Среди нас менее 2 хитрецов»;
- …
- 15-й человек: «Среди нас менее 15 хитрецов»;
- 16-й человек: «Среди нас более 1 хитреца»;
- 17-й человек: «Среди нас более 2 хитрецов»;
- …
- 30-й человек: «Среди нас более 15 хитрецов».
Ответ:
Решение:
На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут.
Однажды собрались 80 жителей острова, все они надели на себя футболки с номерами от 1 до 80 (у разных жителей разные номера). Каждый из них сказал одну из двух фраз:
Однажды собрались 80 жителей острова, все они надели на себя футболки с номерами от 1 до 80 (у разных жителей разные номера). Каждый из них сказал одну из двух фраз:
- «Среди собравшихся хотя бы у 5 лжецов номер футболки больше моего».
- «Среди собравшихся хотя бы у 5 лжецов номер футболки меньше моего».
Ответ:
Решение:
На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут.
Однажды собрались 10 жителей острова, все они надели на себя футболки с номерами от 1 до 10 (у разных жителей разные номера). Каждый из них сказал одну из фраз:
Однажды собрались 10 жителей острова, все они надели на себя футболки с номерами от 1 до 10 (у разных жителей разные номера). Каждый из них сказал одну из фраз:
- «Среди собравшихся нет рыцаря, номер футболки которого больше моего».
- «Среди собравшихся нет лжеца, номер футболки которого меньше моего».
Ответ:
Решение:
В лесу живут эльфы и гномы. Однажды 60 жителей этого леса встали в ряд лицом в одну сторону, в этот момент некоторые из них могли быть в колпаках. (Эльфов могло быть от 0 до 60 включительно, жителей в колпаках тоже могло быть от 0 до 60 включительно.)
Каждый из 60 жителей сказал одну из следующих фраз:
1. Какое наибольшее количество эльфов без колпаков могло быть в ряду?
2. Какое наибольшее количество эльфов в колпаках могло быть в ряду?
Каждый из 60 жителей сказал одну из следующих фраз:
- «Мой сосед справа — эльф».
- «Мой сосед справа — в колпаке».
1. Какое наибольшее количество эльфов без колпаков могло быть в ряду?
2. Какое наибольшее количество эльфов в колпаках могло быть в ряду?
Ответ:
Решение:
На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Однажды 35 жителей острова расселись за 7 столов, по 5 человек за каждым. Каждого из этих 35 жителей спросили: «Столов, за которыми сидят хотя бы 3 рыцаря, больше трёх?»
1. Какое наибольшее число жителей могли ответить «Да»?
2. Какое наибольшее число жителей могли ответить «Нет»?
1. Какое наибольшее число жителей могли ответить «Да»?
2. Какое наибольшее число жителей могли ответить «Нет»?
Ответ:
Решение:
По зову воеводы пришли 55 солдат: лучники и мечники. Все они были одеты либо в золотые, либо в чёрные доспехи. Известно, что мечники говорят правду, когда носят чёрные доспехи и обманывают, когда носят золотые доспехи, а лучники — наоборот.
- На вопрос «На тебе золотые доспехи?» утвердительно ответили 44 человека.
- На вопрос «Ты лучник?» утвердительно ответили 33 человека.
- На вопрос «Сегодня понедельник?» утвердительно ответили 22 человека.
Ответ:
Решение:
На острове Лжецов и Рыцарей расстановку по кругу называют правильной, если каждый, стоящий в кругу, может сказать, что среди двух его соседей есть представитель его племени. Однажды 2019 аборигенов образовали правильную расстановку по кругу. К ним подошел лжец и сказал: «Теперь мы вместе тоже можем образовать правильную расстановку по кругу». Сколько рыцарей могло быть в исходной расстановке?
Ответ:
Решение:
Три школьника сделали по два утверждения про натуральные числа $a$, $b$, $c$:
Антон: 1) $a+b+c=34$, 2) $abc=56$;
Борис: 1) $ab+bc+ac=311$, 2) наименьшее из чисел равно 5;
Настя: 1) $a=b=c$, 2) числа $a$, $b$ и $c$ — простые.
У каждого школьника одно утверждение верное, а другое — нет. Найдите числа $a$, $b$, $c$.
Антон: 1) $a+b+c=34$, 2) $abc=56$;
Борис: 1) $ab+bc+ac=311$, 2) наименьшее из чисел равно 5;
Настя: 1) $a=b=c$, 2) числа $a$, $b$ и $c$ — простые.
У каждого школьника одно утверждение верное, а другое — нет. Найдите числа $a$, $b$, $c$.
Ответ:
Решение:
В классе учатся 30 человек: отличники, троечники и двоечники. Отличники на все вопросы отвечают правильно, двоечники всегда ошибаются, а троечники на заданные им вопросы строго по очереди то отвечают верно, то ошибаются. Всем ученикам было задано по три вопроса: «Ты отличник?», «Ты троечник?», «Ты двоечник?». Ответили «Да»: на первый вопрос — 19 учащихся, на второй — 12, на третий — 9. Сколько троечников учится в этом классе?
Ответ:
Решение:
В некоторой школе каждый десятиклассник либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт. Директор вызвал к себе нескольких десятиклассников и спросил каждого из них про каждого из остальных, правдивец тот или лжец. Всего было получено 44 ответа «правдивец» и 28 ответов «лжец». Сколько правдивых ответов мог получить директор?
Ответ:
Решение:
Вася, Петя и Коля учатся в одном классе. Вася в ответ на любой вопрос врёт, Петя попеременно врёт и говорит правду, а Коля врёт в ответ на каждый третий вопрос, а в остальных случаях говорит правду. Однажды каждого из них шесть раз подряд спросили, сколько человек учится в их классе. В ответ пять раз прозвучало: «Двадцать пять», шесть раз: «Двадцать шесть» и семь раз: «Двадцать семь». Можно ли по их ответам узнать, сколько человек в их классе на самом деле?
Ответ:
Решение:
В марсианском парламенте заседают депутаты трёх партий: «Гласные», «Согласные» и «Шипящие» — по 50 депутатов от каждой партии. На голосование был поставлен проект закона «О реконструкции марсианских каналов». После голосования
- по 30 депутатов от каждой партии сказали, что они проголосовали «за»,
- по 10 сказали, что проголосовали против,
- а остальные сказали, что воздержались.
Ответ:
Решение:
В комнате собрались три человека. Каждый из них либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда лжёт, либо хитрец, который может и говорить правду и лгать по своему желанию.
- Один из собравшихся сказал: «Среди нас есть лжец».
- Другой сказал: «Среди любых двух из нас есть лжец».
- Третий сказал: «Все мы — лжецы».
Ответ:
Решение:
В подводном царстве живут осьминоги, у которых может быть 6, 7 или 8 ног. Те, у которых по 7 ног, всегда лгут, а остальные всегда говорят правду. При встрече четверых осьминогов
- Синий сказал: «у нас на всех в сумме 25 ног»,
- Зеленый возразил: «нет, всего ног 26»,
- Красный сказал, что в сумме ног 27,
- а Жёлтый — что 28.
Ответ:
Решение:
По кругу стоят $N$ человек, пронумерованных по часовой стрелке от 1 до $N$. Первый, третий, пятый и так далее до конца нумерации сказали: «Мой сосед слева — рыцарь». Второй, четвертый, шестой и так далее до конца нумерации сказали: «Мой сосед слева — лжец». Чему может быть равно число $N$? (Соседом слева называется следующий по часовой стрелке человек.)
Выберите все возможные варианты из предложенных:
Выберите все возможные варианты из предложенных:
- 21,
- 32,
- 43,
- 54.
Ответ:
Решение: