В 7 «А» учится 26 детей, которые на всех уроках сидят по двое за партой. Однажды в этом классе провели самостоятельную работу, за которую каждый получил четвёрку или пятёрку. Все ученики заявили следующее:
«Все сидящие не за одной партой со мной получили четвёрки.»
Оказалось, что правду сказали только те ученики, которые получили пятёрку. Сколько всего четвёрок было выставлено за эту самостоятельную работу?
«Все сидящие не за одной партой со мной получили четвёрки.»
Оказалось, что правду сказали только те ученики, которые получили пятёрку. Сколько всего четвёрок было выставлено за эту самостоятельную работу?
Ответ:
Решение:
У мальчиков Ильи, Максима, Вовы и Лёши есть конфеты: 1, 2 или 3 у каждого. Они заявили следующее:
- Илья: «У Лёши не 1 конфета».
- Максим: «Ровно у двоих из нас по 3 конфеты».
- Вова: «У меня конфет больше, чем у Лёши».
- Лёша: «Количества конфет у Максима и Вовы отличаются не более чем на 1».
Ответ:
Решение:
На уроке физкультуры в шеренгу встали 25 учеников 5«Б» класса. Каждый из ребят либо отличник, который всегда говорит правду, либо хулиган, который всегда врёт.
Отличник Влад встал на 13-е место. Все, кроме Влада, заявили: «Между мной и Владом ровно 6 хулиганов». Сколько всего хулиганов в шеренге?
Отличник Влад встал на 13-е место. Все, кроме Влада, заявили: «Между мной и Владом ровно 6 хулиганов». Сколько всего хулиганов в шеренге?
Ответ:
Решение:
На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Однажды 65 жителей острова собрались на заседание. Все они по очереди сделали заявление: «Среди сделанных ранее заявлений истинных ровно на 20 меньше, чем ложных». Сколько рыцарей было на этом заседании?
Ответ:
Решение:
После чемпионата мира по хоккею три журналиста написали статью о сборной Германии — каждый для своей газеты.
- Первый написал: «Сборная Германии за весь чемпионат забила больше 10, но меньше 17 шайб».
- Второй: «Сборная Германии забила больше 11, но меньше 18 шайб за весь чемпионат».
- Третий: «Сборная Германии забила нечётное количество шайб за весь чемпионат».
Ответ:
Решение:
Четверо ребят гуляли вдоль аллеи и решили посчитать количество елей, высаженных вдоль неё.
- Аня сказала: «Вдоль аллеи всего 15 елей».
- Боря сказал: «Количество елей делится на 11».
- Вера сказала: «Елей точно меньше 25».
- Гена сказал: «А я уверен, что их количество делится на 22».
Ответ:
Решение:
На острове живут рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Однажды 6 жителей острова собрались вместе и каждый сказал: «Среди остальных пятерых ровно четыре лжеца!». Сколько рыцарей могло среди них быть?
Ответ:
Решение:
С понедельника по среду гном ест на завтрак манную кашу, с четверга по субботу — рисовую кашу, а в воскресенье делает себе яичницу. По чётным числам месяца гном говорит правду, а по нечётным — неправду. В какие из первых десяти дней августа 2016 года он мог сказать: «Завтра я буду есть на завтрак манную кашу»? Обоснуйте ваш ответ.
{
}
{
| Понедельник | Вторник | Среда | Четверг | Пятница | Суббота | Воскресенье |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 8 | 9 | 10 |
Ответ:
Решение:
В мешке лежат 15 шариков (см. рисунок). Раскрасьте каждый шарик в один из трёх цветов: синий, зелёный или красный — так, чтобы два утверждения были верны, а одно неверно:
- синих шариков на один больше, чем красных;
- красных и зелёных шариков поровну;
- синих шариков на 5 больше, чем зелёных.
Ответ:
Решение:
В подводном царстве живут осьминоги с семью и восемью ногами. Те, у кого 7 ног, всегда врут, а те, у кого 8 ног, всегда говорят правду. Однажды между тремя осьминогами состоялся такой разговор.
— Зелёный осьминог: У нас вместе 24 ноги.
— Синий осьминог: Ты прав!
— Красный осьминог: Глупости, Зелёный говорит ерунду!
Сколько ног было у каждого осьминога? (Ответ обоснуйте.)
— Зелёный осьминог: У нас вместе 24 ноги.
— Синий осьминог: Ты прав!
— Красный осьминог: Глупости, Зелёный говорит ерунду!
Сколько ног было у каждого осьминога? (Ответ обоснуйте.)
Ответ:
Решение:
В подводном царстве живут осьминоги с семью и восемью ногами. Те, у кого 7 ног, всегда врут, а те, у кого 8 ног, всегда говорят правду. Однажды между тремя осьминогами состоялся такой разговор.
— Зелёный осьминог: У нас вместе 21 нога.
— Синий осьминог (зелёному): Всё ты врёшь!
— Красный осьминог: Да оба вы врёте!
1) Мог ли зелёный осьминог сказать правду? Почему?
2) Сколько ног было у каждого осьминога? (Ответ обоснуйте.)
— Зелёный осьминог: У нас вместе 21 нога.
— Синий осьминог (зелёному): Всё ты врёшь!
— Красный осьминог: Да оба вы врёте!
1) Мог ли зелёный осьминог сказать правду? Почему?
2) Сколько ног было у каждого осьминога? (Ответ обоснуйте.)
Ответ:
Решение:
Три лисы — Алиса, Лариса и Инесса — разговаривали на полянке. Лариса: «Алиса не самая хитрая». Алиса: «Я хитрее Ларисы». Инесса: «Алиса хитрее меня». Известно, что самая хитрая лиса солгала, остальные сказали правду.
а) Может ли самой хитрой лисой быть Алиса? Почему?
б) Какая лиса самая хитрая? Дайте ответ и объясните, почему другие варианты не подходят.
а) Может ли самой хитрой лисой быть Алиса? Почему?
б) Какая лиса самая хитрая? Дайте ответ и объясните, почему другие варианты не подходят.
Ответ:
Решение:
Разложите золотой ключик, перстень, алмаз, жемчужину и изумруд по трём шкатулкам так, чтобы ни одна надпись не была верна.
| Шкатулка 1 | Шкатулка 2 | Шкатулка 3 |
| Здесь нет алмаза | Эта шкатулка пуста | Здесь меньше трёх предметов |
| Здесь лежит ключик |
Ответ:
Решение:
На доске нарисован выпуклый $n$-угольник ($n\geqslant 4$). Каждую его вершину надо окрасить либо в чёрный, либо в белый цвет. Назовём диагональ разноцветной, если её концы окрашены в разные цвета. Раскраску вершин назовём хорошей, если $n$-угольник можно разбить на треугольники разноцветными диагоналями, не имеющими общих точек (кроме вершин). Найдите количество хороших раскрасок.
Ответ:
Решение:
Петя хочет выписать все возможные последовательности из 100 натуральных чисел, в каждой из которых хотя бы раз встречается число 4 или 5, а любые два соседних члена различаются не больше, чем на 2. Сколько последовательностей ему придётся выписать?
Ответ:
Решение:
Лёня мечтает в будущем полететь на Марс и основать там свою страну. Пока он хочет придумать флаг этой страны. Он собирает различные варианты флага размером $8\times 8$ из плиток $1\times 1$ серого, бурого и малинового цветов, причём плитки каждого из цветов должны присутствовать.
1. Лёня решил, что плитки каждого цвета должны образовывать прямоугольник. Кроме того, плитки серого и бурого цвета в объединении тоже должны образовывать прямоугольник, а также плитки бурого и малинового цвета в объединении должны образовывать прямоугольник. Сколько вариантов флага придётся рассмотреть Лёне?
2. Лёне не понравился ни один вариант флага из пункта 1, и он решил отказаться от условий про объединения цветов. Осталось лишь требование, что клетки каждого цвета должны образовывать прямоугольник. Сколько новых вариантов флага придётся рассмотреть Лёне?
1. Лёня решил, что плитки каждого цвета должны образовывать прямоугольник. Кроме того, плитки серого и бурого цвета в объединении тоже должны образовывать прямоугольник, а также плитки бурого и малинового цвета в объединении должны образовывать прямоугольник. Сколько вариантов флага придётся рассмотреть Лёне?
2. Лёне не понравился ни один вариант флага из пункта 1, и он решил отказаться от условий про объединения цветов. Осталось лишь требование, что клетки каждого цвета должны образовывать прямоугольник. Сколько новых вариантов флага придётся рассмотреть Лёне?
Ответ:
Решение:
Сколько существует способов расположить в ряд $n$ крестиков и 13 ноликов так, чтобы среди любых трёх подряд идущих значков нашёлся хотя бы один нолик, если
1. $n=27$;
2. $n=26$?
1. $n=27$;
2. $n=26$?
Ответ:
Решение:
Сколькими способами можно покрасить все натуральные числа от 1 до 200 в красный и синий цвета так, чтобы никакая сумма двух различных одноцветных чисел не равнялась степени двойки?
Ответ:
Решение:
Найдите количество путей длины 11 из $A$ в $B$ по сторонам нарисованных клеток, если каждая клетка является квадратом со стороной 1.
Ответ:
Решение:
У Жоры есть коробка конфет, в которой конфеты расположены прямоугольником $4\times5$ (4 строчки, 5 столбцов). Жора берёт по одной конфете, каждый раз выбирая из строки, в которой осталось максимальное количество конфет; если таких несколько — из любой из них. Сколькими способами Жора мог съесть первые 5 конфет; порядок поедания важен?
Ответ:
Решение: